Question

Calcule a Integral a seguir utilizando o método da SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL: ∫ 2X² / 1 + X³ . dx

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \frac{2x {}^{2} }{1 + x {}^{3} } dx$

A questão já nos diz que devemos usar o método da substituição, esse método é utilizado quando tem-se uma função e a sua derivada ao mesmo tempo, dentro da integral. Devemos nomear a função que possui a derivada, de "u", então:

$u = 1 + x {}^{3} \longrightarrow \frac{du}{dx} = 0 + 3x {}^{2} \\ du = 3x {}^{2} dx\longrightarrow \frac{du}{3} = x {}^{2}dx \: \: \: \:$

Fazendo as devidas substituições:

$\int \frac{2. \frac{du}{3} }{u} \longrightarrow \int \frac{ \frac{2}{3} du}{u} \longrightarrow \frac{2}{3} \int \frac{du}{u}$

Aquela integral é conhecida e tem como resultado o seguinte:

$\boxed{\int \frac{ 1}{u} du = \ln( |u| ) + k}$

Aplicando essa integral, temos:

$\frac{2}{3}. \ln( |u| ) + k\longrightarrow \boxed{ \boxed{ \frac{2}{3} \ln( |1 + x {}^{3} | ) + k}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

O resultado do integral pelo método de substituição da variável é

2/3Ln|1 + x³| + c

O que são integrais?

As integrais são operações inversas à derivada, a integral de uma função é a área sob a curva que esta função define em um plano.

Uma função integral é definida pelo sinal "∫" e pode ser usada em processos de variação diferencial e otimização.

Este problema dos integrais será resolvido alterando a variável da seguinte forma:

• u = 1 + x³ ⇒ du = 3x² ⇒ du/3 = x²dx

2/3∫du/u

2/3 Ln|u| + c

2/3Ln|1 + x³| + c

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