Question

Calcule a integral

11) $\int\ {} \frac{dx}{ \sqrt{(5-x^2)^3} } \,$

Answer 1

Vamos fazer uma substituição trigonométrica.

Do tipo:

a² + x²  ⇔ substituição  "x = atg(u)

(√5)² + x² ⇔ " x = (√5)tg(u)

Ou seja,

x = (√5)tg(u)

Derivando ambos lados:

dx = (√5)Sec²(u)du
------------------------

Então:

$\\ \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{(5+x^ 2)^3} } } \, dx = \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{[5+( \sqrt{5} tgu)^2]^3} } } \,* \sqrt{5}Sec^2udu \\ \\ = \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{[5+5tg^2u]^3} } } \,* \sqrt{5} Sec^2udu \\ \\ = \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{[5(1+tg^2u)]^3} } } \, * \sqrt{5} Sec^2udu$

Sabemos que:

1+tg²u = Sec²u  

$\\ = \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{[5Sec^2u]^3} } } \, * \sqrt{5} Sec^2udu \\ \\ = \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{125Sec^6u} } } \, * \sqrt{5} Sec^2udu \\ \\ = \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{125} } } \, * \frac{1}{ \sqrt{Sec^6u} } * \sqrt{5} Sec^2udu \\ \\ = \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{5^2*5} } } \, * \frac{1}{ Sec^3u} * \sqrt{5} Sec^2udu \\ \\ = \int\limits { \frac{1}{5 \sqrt{5} } } \, * \frac{1}{Secu} * \sqrt{5} du$

$\\ = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{1}{Secu} } \, du \\ \\ = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{1}{ \frac{1}{Cosu} } } \, du \\ \\ = \frac{1}{5} \int\limits {Cosu } } \, du \\ \\ = \frac{1}{5}Senu + C$

Mas temos que voltar em nossa variável x"

Tínhamos que:

x = (√5)tgu

Ou seja,

$tgu = \frac{x}{ \sqrt{5} }$

Sabemos que:

tgu = Co/Ca

Então, 

CO = x

CA = √5

Achando Hip por pitágoras

hip² = co² + ca²

hip² = x² +√5²

hip² = x² + 5

hip = √(x²+5)
-------------------------

Como queremos Senu

Senu =  Co/Hip

$Senu = \frac{x}{ \sqrt{x^2+5} }$
-------------------------

Então nossa integral vale:

$\\ = \frac{1}{5} Senu + c \\ \\ = \frac{x}{5 \sqrt{x^2+5} } +c$

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{\left(5-x^2\right)^3}}\\\\\\\int \frac{1}{\left(5-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}dx\\\\\\\int \frac{1}{5\cos ^2\left(u\right)}du\\\\\\=\frac{1}{5}\cdot \int \frac{1}{\cos ^2\left(u\right)}du\\\\\\=\frac{1}{5}\tan \left(u\right)\\\\\\=\frac{1}{5}tan \left(arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{5}}x\right)\right)\\\\\\=\frac{x}{5\sqrt{5-x^2}}\\\\\\\to \boxed{\sf =\frac{x}{5\sqrt{5-x^2}}+C}$