Question

Calcule a integral

10) $\int\ {} \frac{dt}{ \sqrt{9t^2-4} } \,$

Answer 1

Vamos fazer uma substituição trigonométrica do tipo:

t² - a² ⇔ t = aSec(u)


(3t)² - 2² ⇔ 3t =  2Sec(u)

(3t)² - 2² ⇔ t = (2/3)Sec(u)

Ou seja,

t = (2/3)Sec(u)

Derivando ambos os lados teremos:

dt = (2/3)Sec(u)tg(u)du
---------------------

Então:

$\\ \int\limits { \frac{dt}{ \sqrt{9t^2-4} } } \, = \int\limits { \frac{ \frac{2}{3} Sec(u)tg(u)du}{ \sqrt{9( \frac{2}{3}Secu)^2 -4} } } \, \\ \\ = \int\limits { \frac{ \frac{2}{3} Sec(u)tg(u)du}{ \sqrt{9* \frac{4}{9} Sec^2u -4} } } \, \\ \\ = \int\limits { \frac{ \frac{2}{3}Sec(u)tg(u)du}{ \sqrt{4 Sec^2u -4} } } \, \\ \\ = \int\limits { \frac{ \frac{2}{3}Sec(u)tg(u)du}{ \sqrt{4(Sec^2u-1)} } } \,$

Como,

tg²u + 1 = Sec²u

Então:

tg²u = Sec²u - 1
---------------------

$\\ = \int\limits { \frac{ \frac{2}{3}Sec(u)tg(u)du}{ \sqrt{4tg^2u} } } \, \\ \\ = \int\limits { \frac{ \frac{2}{3}Sec(u)tg(u)du}{ 2tgu } } \, \\ \\ = \int\limits { \frac{ \frac{2}{3}Sec(u)du}{ 2} } \, \\ \\ = \frac{2}{6} \int\limits Secu {} \, du \\ \\ = \frac{1}{3} \int\limits Secu {} \, du \\ \\ = \frac{1}{3} ln|Secu + tgu| + C$

A integral de Secu é = ln | Secu + tgu|, é bom ter em mente.

Agora, devemos voltar a variável "t"

Tínhamos que:

3t = 2Secu

 $Secu = \frac{3t}{2}$

Sabemos que:

Secu =  1/Cosu

Secu = 1/(Ca/hip)

Secu = hip/Ca
-----------------------

Então:

Hip = 3t

Ca = 2
-------------------

achando o valor da tgu

tgu = Co/Ca

Acharemos "Co" por pitágoras

co² + ca² = hip²

Co² + 2² = (3t)²

Co² + 4 = 9t²

Co² = 9t² - 4

Co = √(9t²-4)
------------------

Logo, tgu vale:

Tgu = √(9t²-4) / 2 = Co/ Ca

Nossa integral fica:

$\\ = \frac{1}{3} ln| \frac{3t}{2} + \frac{ \sqrt{9t^2-4} }{2} |+C \\ \\ = \frac{1}{3} ln| \frac{3t+ \sqrt{9t^2-4} }{2} |+C \\ \\ =$

Usando propriedade logarítima

ln(a/b) = ln (a) = ln(b)

Teremos:

$\\ = \frac{1}{3} ln| \frac{3t+ \sqrt{9t^2-4} }{2} |+C \\ \\ = \frac{1}{3} ( ln|3t+ \sqrt{9t^2-4} | - ln|2|)+C \\ \\ = \frac{1}{3} ln|3t+ \sqrt{9t^2-4}| - \frac{1}{3}Ln|2|+C$

1/3 Ln|2| é uma constante

$\\ = \frac{1}{3} ln|3t+ \sqrt{9t^2-4}| + C$

Answer 2

$\mathsf{3t=2sec(\theta)\to\,dt=\dfrac{2}{3}sec(\theta).tg(\theta)d\theta}\\\mathsf{\sqrt{9{t}^{2}-4}=2tg(\theta)}$

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{dt}{\sqrt{9{t}^{2}-4}} = \int\dfrac{\frac{2}{3} sec( \theta).tg( \theta)}{2tg( \theta)}d\theta} \\\displaystyle \mathsf{ \frac{1}{3} \int \:sec(\theta)d( \theta) = \dfrac{1}{3}Ln|sec(\theta)+tg(\theta)|+k}$

$\mathsf{sec(\theta)=\dfrac{3t}{2}}\\\mathsf{tg(\theta)=\dfrac{\sqrt{9{t}^{2}-4}}{2})}$

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{dt}{\sqrt{9{t}^{2}-4}} =\dfrac{1}{3}Ln|\dfrac{3t+\sqrt{9{t}^{2}-4}}{2}|+k }$