Question

Calcule a int tg(x) dx

Answer 1

Sabemos que: $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Vamos fazer uma substituição:

$u=\cos(x)\Longrightarrow du=-\sin(x)dx\Longrightarrow sin(x) dx=-du$

Utilizando na integral dada:

$\displaystyle I=\int\tan(x)\,dx\\\\ I=\int\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx\\\\ I=\int-\dfrac{du}{u}=-\int\dfrac{du}{u}\\\\ I=-\ln|u|+C$

Desfazendo a substituição realizada:

$I=-\ln|u|+C\\\\ I=-\ln|\cos(x)|+C\\\\ I=\ln|\dfrac{1}{\cos(x)}|+C\\\\ I=\ln|\sec(x)|+C\\\\ \boxed{\int\tan(x)\,dx=\ln|\sec(x)|+C}$

Answer 2

$\mathsf{\int \tan(x)dx =\int \dfrac{ \sec(x). \tan(x) }{ \sec(x) }dx}$

$u=\sec(x)\rightarrow\,du=\sec(x).\tan(x)dx$

$\mathsf{\int \dfrac{ \sec(x). \tan(x)}{ \sec(x) }dx =\int \dfrac{du}{u} } \\ = \mathsf{ ln |u| + c } \\ = \mathsf{ln| \sec(x)| + c}$