Question

calcule a inclinação da reta tangente ao grafico num ponto x0 e y0, quando função y=x^3-x

Answer 1

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a inclinação da referida reta tangente à curva da função polinomial do terceiro grau - função cúbica - pelo ponto de   "T" é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \theta = \arctan\left[3x_{o}^{2} - 1\right]\:\:\:}}\end{gathered} }$

Obtendo a inclinação da reta.

Sejam os dados:

              $\Large\begin{cases} y = x^{3} - x\\T(x_{o}, y_{o})\end{cases}$

Se:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Então, podemos reescrever os dados como:

               $\Large\begin{cases} f(x) = x^{3} - x\\T(x_{o}, y_{o})\end{cases}$

Antes de calcular a inclinação da reta tangente, devemos definir o que é inclinação. Então,  inclinação é o ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas em seu sentido positivo e para calcularmos seu valor, devemos obter o arco cuja tangente vale o coeficiente angular da referida reta, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = \arctan(m_{t})\end{gathered}$

Sabendo que o coeficiente angular da reta também pode ser representado numericamente pela derivada primeira da função no ponto de tangência, então, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$

Inserindo "II" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = \arctan\left[f'(x_{T})\right]\end{gathered}$

Calculando o valor de "θ", temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = \arctan\left[f'(x_{T})\right]\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan\left[3\cdot x_{o}^{3 - 1} - 1\cdot x_{o}^{1 - 1}\right]\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan\left[3\cdot x_{o}^{2} - 1\cdot x_{o}^{0}\right]\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan\left[3\cdot x_{o}^{2} - 1\cdot 1\right]\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan\left[3x_{o}^{2} - 1\right]\end{gathered}$

✅ Portanto, a inclinação da reta tangente é:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = \arctan\left[3x_{o}^{2} - 1\right]\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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