Question

Calcule a fração da geratriz da dizima periódica 3,121212

Answer 1

$x=3,121212\ldots\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Multiplicando os dois lados da igualdade acima por $100,$ temos

$100x=312,121212\ldots\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Subtraindo $\mathbf{(ii)}-\mathbf{(i)},$ temos

$100x-x=312,\mathbf{121212\ldots}-3,\mathbf{121212\ldots}$


Note que a parte destacada em negrito se cancela na subtração, e ficamos com

$100x-x=312-3\\ \\ 99x=309\\ \\ x=\dfrac{309}{99}$


O mdc de $309$ e $99$ é $3.$ Logo, podemos simplificar a fração obtida:

$x=\dfrac{309}{99}\begin{array}{c}^{\div 3}\\^{\div 3} \end{array}\\ \\ \\ x=\dfrac{103}{33}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c}3,121212\ldots=\dfrac{103}{33} \end{array}}$