Calcule a forma trigonométrica do número complexo (-2+2i)^5.
Soluções para a tarefa
A forma trigonométrica do número complexo (-2 + 2i)⁵ é z = 128√2(cos(225) + sen(225)i)
Primeiramente, observe que o número complexo (-2 + 2i)⁵ pode ser escrito como: (-2 + 2i)².(-2 + 2i)².(-2 + 2i).
Sendo assim, temos que:
(-2 + 2i)² = (-2 + 2i).(-2 + 2i)
(-2 + 2i)² = (-2).(-2) - 2.2 + ((-2).2 + 2.(-2))i
(-2 + 2i)²= 4 - 4 + (-4 - 4)i
(-2 + 2i)² = -8i.
Logo, o número complexo (-2 + 2i)⁵ é igual a:
(-2 + 2i)⁵ = (-8i).(-8i).(-2 + 2i)
(-2 + 2i)⁵ = 64i(-2 + 2i)
(-2 + 2i)⁵ = -128 - 128i.
Agora, devemos fazer os seguintes cálculos:
p² = (-128)² + (-128)²
p² = 2.128²
p = 128√2.
Daí, temos que os valores de seno e cosseno são:
sen(x) = -128/128√2
sen(x) = -√2/2
e
cos(x) = -128/128√2
cos(x) = -√2/2.
Ou seja, x = 225º.
Portanto, a forma trigonométrica é: z = 128√2(cos(225) + sen(225)i).