Question

Calcule a expressão a seguir:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cintita, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como, aliás, costumamos fazer em todas as nossas respostas.

i) Tem-se a seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = √(25) + log₂₅ (4) + 8^(3-log₈ (4))

Antes de iniciar, veja que no expoente "3-log₈ (4)", poderemos transformar o "3" em log₈ (8³), pois isso é exatamente igual a "3". Então a nossa expressão "y" ficará sendo esta:

y = √(25) + log₂₅ (4) + 8^(log₈ (8³)-log₈ (4))

Agora note mais isto: como no expoente (log₈ (8³)-log₈ (4)) há uma subtração de logaritmos da mesma base, então poderemos transformar essa subtração em divisão, ficando assim:

y = √(25) + log₂₅ (4) + 8^(log₈ (8³/4) ---- como 8³ = 512, ficaremos com:

y = √(25) + log₂₅ (4) + 8^(log₈ (512/4) ---- como "512/4 = 128", teremos:

y = √(25) + log₂₅ (4) + 8^(log₈ (128))

Agora veja isto e nunca mais esqueça: a^(logₐ (N)) = N (é uma propriedade logarítmica). Portanto, utilizando-se a propriedade acima, teremos que: 8^(log₈ (128)) = 128 . Assim, substituindo-se na nossa expressão "y" teremos:

y = √(25) + log₂₅ (4) + 128 ------ como √(25) = 5, teremos:

y = 5 + log₂₅ (4) + 128 ------ reduzindo os termos semelhantes, teremos (note que "5 + 128 = 133"):

y = 133 + log₂₅ (4) ----- mas como já vimos, na sua questão anterior, que log₂₅ (4) é igual a "0,430677" (bem aproximado), então vamos fazer essa substituição. Lembre-se que, na sua questão anterior, quando calculamos o valor de log₂₅ (4), passamos tudo isso para a base "10" e ficamos assim: log₁₀ (4) / log₁₀ (25) ---> log₁₀ (2²)/log₁₀ (5²) ---> 2log₁₀ (2) / 2log₁₀ (5) --------> log₁₀ (2) / log₁₀ (5) ---> 0,30103/0,69897 = 0,430677.  Então, substituindo-se log₂₅ (4) por "0,430677", iremos ficar com:

y = 133 + 0,430677 ---- fazendo essa soma, teremos que:

y = 133,430677 (bem aproximado) <--- Esta é a resposta.

Cintita lá onde tem o "8" elevado a "3 - log₈ (4)" você perguntou se em vez de fazermos o que fizemos na nossa resposta se não poderia deixar o "3" e resolver log₈ (4). Veja que poderia sim. E vamos fazer isso agora: Note que tínhamos isto:

8^(3-log₈ (4)) ---- vamos resolver o expoente, que é este:

3 - log₈ (4) ---- note que resolvendo separadamente log₈ (4) = x,  se aplicarmos a definição de logaritmo, vamos ter isto:

8ˣ = 4 ---- como 8 = 2³ e como 4 = 2², então ficaremos:

(2³)ˣ = 2² ------ desenvolvendo, teremos:

2³ˣ = 2² ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:

3x = 2 ---> x = 2/3 <--- Este é o valor de log₈ (4). Agora vamos levar para a expressão original do expoente, que era esta:

3 - log₈ (4) ---- substituindo-se log₈ (4) por "2/3", teremos:

3 - 2/3 = 7/3 ---- (note que 3-2/3 é igual a "7/3"). Agora vamos levar "7/3" como o expoente do "8", pois "7/3" já é o resultado do expoente "3-log₈ (4)". Assim ficaríamos com:

8⁷/³ ---- note que isto é a mesma coisa que:

∛(8⁷) e note que ∛(8⁷) = ∛(8³.8³.8¹) = 8*8*∛(8) ---- como ∛(8) = 2, teremos: 8*8*2 = 128 <--- Veja que a resposta foi a mesma que encontramos quando fizemos o "3" igual a log₈ (8³), ok?

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.