Question

Calcule a excentricidade da hipérbole : 49x^2 - 36y^2 = 7056

Answer 1

A excentricidade de uma hipérbole de equação reduzida

$\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1~~ou~~\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$

é definida por

$\boxed{\boxed{e=\dfrac{c}{a}}}$

onde $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
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Para isso, precisamos da equação reduzida da hipérbole.

Manipularemos a equação dada, completando quadrados:

$49x^{2}-36y^{2}=7056\\\\\\\dfrac{x^{2}}{(\frac{1}{49})}-\dfrac{y^{2}}{(\frac{1}{36})}=7056$

Dividindo todos os termos por 706, temos

$\dfrac{x^{2}}{(\frac{7056}{49})}-\dfrac{y^{2}}{(\frac{7056}{36})}=1\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{x^{2}}{144}+\dfrac{y^{2}}{196}=1}}$

Portanto, essa é uma parábola de eixo focal horizontal, onde a² = 144 e b² = 196

Vamos encontrar c²:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\\\\c^{2}=196+144\\\\c^{2}=340$
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Achando a excentricidade:

$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}}=\dfrac{\sqrt{340}}{\sqrt{144}}=\dfrac{\sqrt{340}}{12}$

Simplificando a raiz do numerador:

$\sqrt{340}=\sqrt{4\cdot85}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{85}=2\sqrt{85}$

Então, a excentricidade é dada por

$c=\dfrac{2\sqrt{85}}{12}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{c=\dfrac{\sqrt{85}}{6}}}$