Question

Calcule a equação geral do plano π que passa pelo ponto A(1,−3,4) e é paralelo aos vetores~v1 = (3,1,−2) e~v2 = (1,−1,1).

Answer 1

Resposta:

precisamos do vetor normal

Fazendo o produto escalar entre vetores normais ente si.

(a,b,c) .(3,1,-2) =3a+b-2c =0 ==>b=2c-3a

(a,b,c).(1,-1,1) =a-b+c=0    ==>b=a+c

2c-3a=a+c

c=4a

b=a+4a =5a

a=a

b=5a

c=4a

(a,b,c) =(a+5a+4a)  ...a*(1,5,4) ...fazendo a=1 (poderia ser qualquer número Real , menos o zero)    , temos vetor normal =(1,5,4)=(a,b,c)

Equação geral :

ax+by+cz+D=0

x+5y+4z+D=0

Vamos usar o ponto A(1,-3,4) para descobrir o D , é por isso que ele foi fornecido.

1+5*(-3)+4*4+D=0

D=-1+15-16=-2

x+5y+4z-2=0  é a equação geral do plano do plano π

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral do referido plano é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: -x - 5y - 4z + 2 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                     $\Large\begin{cases} A(1, -3, 4)\\\vec{v_{1}} = (3, 1, -2)\\\vec{v_{2}} = (1, -1, 1)\end{cases}$

Se os vetores dados são paralelos ao plano, então eles são os vetores diretores do referido plano. Desta forma, para determinar a equação geral do plano procurado, devemos:

• Calcular o vetor normal "n" do plano. Para isso, devemos calcular o produto vetorial entre os vetores diretores.

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n} = \vec{v_{1}}\wedge\vec{v_{2}}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\3 & 1 & -2\\1 & -1 & 1 \end{vmatrix} \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \begin{vmatrix}1 & -2\\-1 & 1 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}3 & -2\\1 & 1 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}3 & 1\\1 & -1 \end{vmatrix}\vec{k} \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (1 - 2)\vec{i} - (3 + 2)\vec{j} + (-3 - 1)\vec{k}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -1\vec{i} - 5\vec{j} - 4\vec{k}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-1, -5, -4)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n} = (-1, -5, -4)\end{gathered}$

• Montar a equação geral do plano. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$    $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto "A" quanto as componentes do vetor normal "n" na equação "I", temos:

                $\large\displaystyle\begin{gathered} (-1)\cdot x + (-5)\cdot y + (-4)\cdot z = (-1)\cdot1 + (-5)\cdot(-3) + (-4)\cdot4\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x - 5y - 4z = -1 + 15 - 16\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x - 5y - 4z = -2\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x - 5y - 4z + 2 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano é:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: -x - 5y - 4z + 2 = 0\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$