Matemática, perguntado por hilarioalves87, 4 meses atrás

Calcule a equação geral da reta tangente para:
f(X)= X^2 - X isso quando X=1

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral da reta tangente à curva da referida função polinomial passando pelo referido ponto de tangência é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: -x + y + 1 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} f(x) = x^{2} - x\\x_{T} = 1\end{cases}$

Para montarmos a equação da reta "t" tangente ao gráfico da referida função, passando pelo ponto de tangência "T", podemos utilizar a fórmula do ponto/declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}$

Sabendo que o coeficiente angular é numericamente igual à primeira derivada da função no ponto de abscissa "Xt", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$}$

Além disso, sabemos também que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$}$

Substituindo "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (1^{2} - 1) = (2\cdot1\cdot1^{2 - 1} - 1\cdot1^{1 - 1})\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (1 - 1) = (2\cdot1^{1} - 1\cdot1^{0})\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 0 = (2\cdot1 - 1\cdot1)\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = (2 - 1)\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 1\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf V\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = x - 1\end{gathered}$}$

Como o enunciado nos está solicitando a equação geral da reta tangente, então, devemos passar todos os termos da equação "V" para o primeiro membro, igualando este a "0", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -x + y + 1 = 0\end{gathered}$}$