Question

Calcule a equação do plano tangente no ponto (1,2,4) á superfície esférica de equação x^2+y^2 + (z-1)^2=14

Answer 1

✅ Após realizar os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície esférica é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x + 4y + 6z = 34\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

       $\Large\begin{cases} \lambda: x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 14\\T = (1, 2, 4)\end{cases}$

Para resolver esta questão devemos:

• Verificar se o ponto "T", de fato, pertence à superfície esférica "λ". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "T" na equação da superfície. Então, temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1^{2} + 2^{2} + (4 - 1)^{2} = 14\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + 4 + 9 = 14\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf I\end{gathered}$                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 14 = 14\end{gathered}$

        Como, ambos os membros da equação "I" são iguais, então o   ponto "T" pertence à referida superfície. Desta forma, podemos continuar com os cálculos.

• Calcular o vetor gradiente da superfície:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y, z) = \langle f_{x}(x, y, z),\,f_{y}(x, y, z),\,f_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\vec{k}\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2x\,\vec{i} + 2y\,\vec{j} + (2z - 2)\,\vec{k}\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2x, 2y, 2z - 2)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\vec{\nabla} f(x, y, z) = (2x,\,2y,\,2z - 2)\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente aplicado ao ponto "T":

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 2, 4) = (2\cdot1,\,2\cdot2,\,2\cdot4 - 2)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2,\,4,\,6)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\vec{\nabla} f(1, 2, 4) = (2, 4, 6)\end{gathered}$

• Identificando o vetor normal ao plano:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = \vec{\nabla} f(1, 2, 4) = (2, 4, 6)\end{gathered}$

• Montar a equação do plano. Para isso, devemos utilizar a seguinte equação:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$    $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto "T" quanto as componentes do vetor "n" na equação "II" temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + 4\cdot y + 6\cdot z = 2\cdot1 + 4\cdot2 + 6\cdot4\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 4y + 6z = 2 + 8 + 24\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 4y + 6z = 34\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano tangente é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 2x + 4y + 6z = 34\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$