Question

Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = raiz x² +9 no ponto de abscissa x0 = 4

Answer 1

f(x)=x²+2x
y=x²+2x
y=1²+2.1=3

f '(x)=2x+2
f '(1)=2.1+2=4
m=4

equação da reta tangente :
y-y0=m(x-x0)
y-3=4(x-1)
y-3=4x-4
4x-y-4+3=0
4x-y-1=0

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a reta tangente a função pelo ponto de tangencia é:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = \frac{4}{5}x - \frac{9}{5}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                     $\Large\begin{cases} f(x) = \sqrt{x^{2} + 9}\\x_{o} = 4\end{cases}$

Para montar a equação da reta tangente devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{O} = m_{t}\cdot(x - x_{O})\end{gathered}$

Se a ordenada do ponto "O" é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{O} = f(x_{O})\end{gathered}$

E o coeficiente angular da reta tangente é a derivada primeira da função em termos de "x", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{O})\end{gathered}$

Como a função dada é uma função composta, então sua derivada será calculada pela regra da cadeia. Desse modo, temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = \left[f'(g(x_{O}))\cdot g'(x_{O})\right]\end{gathered}$              

Substituindo as equações "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(IV)\end{gathered}$      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{O}) = \left[f'(g(x_{O}))\cdot g'(x_{O})\right]\cdot(x - x_{O})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV" e desenvolvendo os cálculos, temos:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - \sqrt{4^{2} + 9} = \left[\frac{1}{2\cdot\sqrt{4^{2} + 9}}\cdot2\cdot4\right]\cdot(x - 4)\end{gathered} }$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - \sqrt{16 + 9} = \left[\frac{8}{2\cdot\sqrt{16 + 9}}\right]\cdot(x - 4)\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - \sqrt{25} = \left[\frac{8}{2\cdot\sqrt{25}}\right]\cdot(x - 4)\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 5 = \frac{8}{2\cdot5}\cdot(x - 4)\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 5 = \frac{8}{10}\cdot(x - 4)\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 5 = \frac{8}{10}x - \frac{32}{10}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{8}{10}x - \frac{32}{10} + 5\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{8x - 32 + 50}{10}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{8x - 18}{10}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{8}{10}x - \frac{18}{10}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{4}{5}x - \frac{9}{5}\end{gathered}$

✅ Portanto, a reta tangente é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = \frac{4}{5}x - \frac{9}{5}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$