Question

Calcule a equação da reta tangente a parábola F(x) = x², no ponto (2,4).

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

A equação da reta tangente a uma função $f(x)$, contínua e derivável em um ponto $(x_0,~f(x_0))$ é dada por: $y-y_0=f'(x_0)\cdot (x-x_0)$.

Assim, devemos encontrar a equação da reta tangente à curva da função $f(x)=x^2$ no ponto $(2,~4)$.

Calculamos a derivada da função:

$(f(x))'=(x^2)'$

Aplique a regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

$f'(x)=2\cdot x^{2-1}\\\\\\ \Rightarrow f'(x)=2x$

Agora, calcule o valor da derivada da função no ponto $x=2$

$f'(2)=2\cdot2\\\\\\ \Rightarrow f'(2)=4$

Por fim, substitua os dados na equação

$y-4=4\cdot(x-2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some $4$ em ambos os lados da igualdade

$y-4=4x-8\\\\\\ \boxed{y=4x-4}~~\checkmark$

Esta é a equação da reta tangente à curva desta função neste ponto. Veja seus gráficos na imagem em anexo.