Question

Calcule a equação (2n)! = 6.
(2n-2)!

Answer 1

$(2n)!=6\cdot (2n-2)!\Rightarrow \dfrac{(2n)!}{(2n-2)!}=6\Rightarrow \dfrac{(2n)\cdot (2n-1)\cdot (2n-2)!}{(2n-2)!}=6$


Cancelando (2n - 2)! fica:

$(2n)\cdot (2n-1)=6\Rightarrow 4n^{2}-2n-6=0$

Dividindo todos os membros da equação por 2, para simplificar:

$4n^{2}-2n-6=0\ \ \div 2\Rightarrow 2n^{2}-n-3=0\\ \\ \\ n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot n}\Rightarrow n=\dfrac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot (-3)}}{2\cdot 2}\Rightarrow\\ \\ \\ n=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}\Rightarrow n=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{4}\Rightarrow n=\dfrac{1\pm 5}{4}\Rightarrow \\ \\ \\ n_1=\dfrac{1+5}{4}\Rightarrow n_1=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\\ \\ \\ n_2=\dfrac{1-5}{4}\Rightarrow n_2=\dfrac{-4}{4}=-1$


Observe que para n = -1, teremos: (2·(-1))! = 6·(2·(-1)-2)! ⇒ (-2)! = 6·(-4)!
Como não existe fatorial negativo, então consideramos apenas n = 3/2