Question

Calcule a e b reais de modo que f(x) = x4+ 81 seja divisível por g(x) = x2+ ax + b.

Answer 1

Lembre que devemos sempre "eliminar" primeiro os termos de maior expoente.

x⁴ + 81 /x² + ax + b

Pelo que devemos multiplicar x² para resultar em x⁴?

R: x²

x⁴ + 81 - x² . (x² + ax + b)

x⁴ + 81  - x⁴ - ax³ - bx²

-ax³ - bx² + 81

-ax³ - bx² + 81 /x² + ax + b

Pelo que devemos multiplicar x² para resultar em -ax³?

R: -ax

-ax³ - bx² + 81 - (-ax).(x² + ax + b)

-ax³ - bx² + 81 + ax.(x² + ax + b)

-ax³ - bx² + 81 + ax³ + a²x² + abx

(-b+a²)x² + ab.x + 81

(-b+a²)x² + ab.x + 81 /x² + ax + b

Pelo que devemos multiplicar x² para resultar em (-b+a²)?

R: (-b+a²)

(-b+a²)x² + ab.x + 81 - (-b+a²).(x² + ax + b)

(-b+a²)x² + ab.x + 81 - (-b+a²)x² - (-b+a²).ax - (-b+a²).b

ab.x + 81 + (ab.x - a³x) + (b²-a²b)

ab.x + ab.x - a³x + b² - a²b + 81

(2ab -a³)x + (-a²b + b² + 81)

Como o expoente do resto da divisão é menor que o do divisor, devemos parar de dividir.

Como f(x) é divisivel por g(x) o resto deve valer 0, logo:

2ab - a³ = 0

-a²b + b² + 81 = 0

Na primeira equação:

2ab = a³

2b = a²

b = a²/2

Substituindo na 2ª equação:

-a²b + b² + 81 = 0

-a².(a²/2) + (a²/2)² + 81 = 0

-a⁴/2 + a⁴/4 = -81

-a⁴/4 = -81

a⁴ = 4 . 81

a⁴ = 324

$a=\sqrt[4]{324}\\\\a=3\sqrt[4]{4}$

Como b = a²/2

$b = \left(\frac{3\sqrt[4]{4}}{2}\right)^2\\\\b=\frac{3^2\sqrt[4]{4}^2}{2^2}\\\\b=\frac{9\sqrt[4]{16}}{4}\\\\b=\frac{9\;.\;2}{4}\\\\b=4,5$