Question

Calcule a e b reais de modo que f(x) = x 4 + 81 seja divisível por g(x) = x 2 + ax + b.

Answer 1

Dados:

f(x) = x^4 + 81
g(x) = x^2 + ax + b

Queremos que f(x) seja divisível por g(x), isto é;

f(x) = g(x).q(x)
x^4 + 81 = (x^2 + ax + b).(x^2 + cx + d)
x^4 + 81 = x^4 + ax.x^2 + b.x^2 + x^2.cx + ax.cx + b.cx + x^2.d + ax.d + b.d
x^4 + 81 = x^4 + ax^3 + cx^3 + bx^2 + acx^2 + dx^2 + bcx + adx + bd
x^4 + 0.x^3 + 0.x^2 + 0.x + 81 = x^4 + (a + c)x^3 + (b + ac + d)x^2 + (bc + ad)x + bd

Comparando os lados:

a + c = 0 ⇒ a = - c

b + ac + d = 0 ⇒ b + a(- a) + d = 0 ⇒ d = a^2 - b

bc + ad = 0 ⇒ b.(- a) + a.(a^2 - b) = 0 ⇒ a^3 - 2ab = 0 ⇒ a.(a^2 - 2b) = 0 ⇒ 
 a = 0 ou a = √(2b) ou a = - √(2b)

bd = 81 ⇒ b.(a^2 - b) = 81 ⇒ b.a^2 - b^2 = 81
Se a = 0 ⇒ - b^2 = 81 ⇒ b ∉ R
Se a = √(2b) ou - √(2b) ⇒ b.(2b - b) = 81 ⇒ 2b^2 - b^2 = 81 ⇒ b = 9 ou - 9 e, portanto:
Se b = 9 ⇒ a = √(2.9) = 3√2
Se b = - 9  ⇒ a = √-(2.9) ⇒ a ∉ R

Solução: {a = 3√2 e b = 9}.