Question

CALCULE a distância entre os pontos de intersecção das circunferências com equações x² + y² - 2x - 2y +1 = 0 e x² + y² - 4x - 2y +4 = 0

ajudem pff​

Answer 1

$\displaystyle 1) \ \text x^2+\text y^2-2\text x-2\text y+1=0 \\\\ 2) \ \underline {\text x^2+\text y^2-4\text x-2\text y+4=0\ }\ - \text{(subtraindo )}\\\\ -2\text x-(-4\text x)-2\text y-(-2\text y)+1-4 = 0 \\\\ -2+4\text x-2\text y+2\text y-3=0 \\\\ 2\text x-3=0\\\\ \boxed{\text x = \frac{3}{2}}$

Colocando a 1ª equação na forma reduzida e substituindo o valor de x =3/2

$\displaystyle \text x^2-2\text x+1+\text y^2-2\text y+1=1 \\\\ (\text x-1)^2+(\text y-1)^2=1 \\\\ \text{fazendo x= 3/2}: \\\\ (\frac{3}{2}-1)^2+(\text y-1)^2=1 \\\\ \frac{1}{4}+(\text y-1)^2=1 \\\\ (\text y-1)^2 = 1-\frac{1}{4} \to (\text y-1)^2=\frac{3}{4}\\\\\\ \text y-1=\pm\sqrt{\frac{3}{4}} \\\\ \boxed{\text y= \frac{2+\sqrt{3}}{2}} \ ; \ \boxed{\text y' =\frac{2-\sqrt{3}}{2}}$

Analisando graficamente, vemos que só temos apenas um valor de x onde há interseção.

A distância entre os pontos de intersecção será dado pela distância entre os pontos :

$\displaystyle \text D =\sqrt{(\frac{3}{2}-[\frac{2+\sqrt{3}}{2}])^2+(\frac{3}{2}-[\frac{2-\sqrt{3}}{2})^2} \\\\\\ \text D = \sqrt{(\frac{3-2-\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{3-2+\sqrt{3}}{2})^2} \\\\\\ \text D = \sqrt{(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2} \\\\\\ \text D = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}}{4}} \\\\\\\text D = \sqrt{\frac{8}{4}} =\sqrt2$

Portanto a distância entre os pontos de intersecção vale :

$\displaystle \huge\boxed{\text D =\sqrt2 \ } \checkmark$