Question

Calcule a distância entre o ponto A e a reta “r” nos casos:

1. A(-1,5) e r: (x/4) + (y/3) = 1
2. A (0,0) e r: y - 4= -2/3(x + 1)

Answer 1

Olá, boa noite.

Para calcular a distância entre o ponto e a reta, temos uma fórmula que nos permite fazer isso.

Mas antes de começar os cálculos, vamos passar essas equações da forma segmentária e reduzida, para a fórmula geral, pois ficam mais fácil identificar a, b e c.

Lets'go:

$a) \: \: \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 \\ \\ \frac{3x + 4y}{12} = 1 \\ \\ 3x + 4y = 12 \\ \boxed{3x + 4y - 12 = 0}$

$b) \: \: y - 4 = - \frac{2}{3} .(x + 1) \\ \\ y - 4 = - \frac{2x}{3} - \frac{2}{3} \\ \\ mmc = 3 \\ \\ 3y - 12 =- 2x - 2 \\ 3y - 12 + 2 + 2x = 0 \\ \boxed{3y +2x - 10 = 0}$

Agora vamos partir para os cálculos das distâncias:

A fórmula usada é:

$\large\boxed{d = \frac{ |ax + by + c| }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } } }$

Os valores de a, b e c são os coeficientes da equação, ou seja, os números que estão na frente das letras.

Os valores de x e y são os valores dos pontos A.

$\Large\boxed{a) \: \: d = \frac{ |ax + by + c| }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } }} \\ \\ d = \frac{ |3.( - 1) + 4.5 - 12| }{ \sqrt{3 {}^{2} +4 {}^{2} } } \\ \\ d = \frac{ | - 3 + 20 - 12| }{ \sqrt{9 + 16} } \\ \\ d = \frac{ |5| }{ \sqrt{25} } \\ \\ d = \frac{5}{5} \\ \\ \boxed{d = 1 \: \: u.c}$

$\Large\boxed{b) \: \: d = \frac{ |ax + by + c| }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } }} \\ \\ d = \frac{ | 2.0 +3.0 - 10 | }{ \sqrt{ 2 {}^{2} + 3 {}^{2} } } \\ \\ d = \frac{ |0 + 0 - 10| }{ \sqrt{4 + 9} } \\ \\ d = \frac{ | - 10| }{ \sqrt{13} } \\ \\ d = \frac{10}{ \sqrt{13} } \\ \\ d = \frac{10}{ \sqrt{13} } . \frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt{13} } \\ \\ d = \frac{10 \sqrt{13} }{ \sqrt{169} } \\ \\ \boxed{d = \frac{10 \sqrt{13} }{13} \: \: u.c}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Qualquer erro me contate :v.