Question

Calcule a distância entre as retas r: -5x+3y-4=0 e s: 10x-6y+2=0

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos achar os coeficientes angulares das retas.

Isolar o y nas duas retas.

    $r:-5x+3y-4=0$  →  $3y=5x+4$  →  $y=\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}$

    $s:10x-6y+2=0$  →  $-6y=-10x-2$  →  $y=\frac{-10}{-6}x-\frac{2}{-6}$  →  $y=\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}$

Coeficiente angular de r é igual ao do s $(\frac{5}{3})$, então elas são paralelas.

Escolha um valor para x e substitua na reta r: -5x + 3y - 4 = 0

    -5 . 1 + 3y - 4 = 0  -->  3y = 9  -->  y = 3

Então, um ponto será P (1, 3) na reta r

Na reta s: 10x - 6y + 2 = 0, temos: a = 10 ; b = -6 ; c = 2

A fórmula da distância entre duas retas é dada por

                     $d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Substituindo os valores, temos

    $d=\frac{|10.1+(-6).3+2|}{\sqrt{10^{2}+(-6)^{2}}}$

    $d=\frac{|10-18+2|}{\sqrt{100+36}}$

    $d=\frac{|-6|}{\sqrt{x136}}$

    $d=\frac{6}{2\sqrt{34}}$

Racionalizando fica

    $d=\frac{6}{2\sqrt{34}}.\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

    $d=\frac{6\sqrt{34}}{2.34}$

    $d=\frac{3\sqrt{34}}{34}$

Em números decimais fica

   $d=0,51...$