Question

calcule a distancia entre as retas (r) 3x+4y - 13 = 0 e (s) 3x +4y +7 = 0

Answer 1

A distância entre 2 retas quaisqueres sempre será uma reta perpendicular a ambas, fato que pode apenas ser satisfeito se ambas as retas possuírem o mesmo coeficiente angular (O que está satisfeito pelas leis de formação de ambas as retas).

(r) 3x+4y - 13 = 0  
(s) 3x +4y +7 = 0

Temos que primeiro chegar ao coeficiente da reta p que é perpendicular a ambas usando a fórmula: mp.ms(ou mr) = -1
mp.-3/4 = -1
mp = 4/3

a equação de formação da reta perpendicular, portanto é:
4/3 = ΔY/ΔX

Fazendo um desenho, pode-se perceber que o "x final" é o x de uma reta e o "x inicial" é o x da outra, o mesmo ocorre com o y. 

Mas primeiramente, vamos achar a lei de formação da reta (p) que liga (r) a (s):
Têm-se que o coeficiente angular mp = delta y/delta x
4/3 = yr-ys/xr-xs

Pela fórmula da distância entre 2 pontos (e como os pontos estão generalizados, não há problemas em utilizá-la, mesmo sendo retas)

d² = (xr-xs)² + (yr-ys)²
Lembrando que 4/3 = yr-ys/xr-xs
ou seja, xr-xs = 3yr-ys/4
d² = (3yr-ys/4)² + (yr-ys)²

E nós temos o valor de yr-ys, pois
yr = -3/4x +13/4
ys = -3/4x - 7/4
yr-ys = -3/4x +13/4 +3/4x + 7/4
yr-ys = 20/4 = 5
Voltando à equação

d² = (3yr-ys/4)² + (yr-ys)²
d² = (3.5/4)² + (5)²
d² = 225/16 + 400/16
d² = 625/16
Aplicando a raiz
d = l25/4l
Como distância é sempre positiva
d = 6,25 unidades de comprimento

Espero que seja possível a compreensão