Question

calcule a distancia entre as retas paralelas r e s nos casos r: x + y + 4 =0 e s: X + y + 2= 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Nicaelifreitas, que a resolução é simples.
Pede-se a distância (d) entre as seguintes retas paralelas:

Reta "r" ---> x + y + 4 = 0
e
Reta "s" ---> x + y + 2 = 0 .

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja que a distância (d) de um ponto (x₀; y₀) à uma reta Ax + By + C = 0 é dada da seguinte forma:

d = | Ax₀ + By₀ + C | / √(A²+B²) .

ii) Tendo, portanto, a expressão acima como parâmetro, então vamos encontrar um ponto qualquer na reta "r" e vamos medir a distância (d) desse ponto à reta "s".
Assim, teremos:

ii.a) Fazendo x = 0 na reta "r", que é esta:

x + y + 4 = 0 ------ para x = 0, teremos:
0 + y + 4 = 0
y + 4 = 0
y = - 4 <---- Assim, para x = 0, temos y = - 4 . Assim, temos o ponto (0; -4) da reta "r" e que vamos encontrar qual é a distância dele à reta "s".
Note: como as retas são paralelas, então qualquer ponto que você tomar numa das retas e depois encontrar a distância à outra reta SEMPRE irá ser a mesma

iii) Agora vamos utilizar a fórmula que vimos antes, que dá a distância (d) de um ponto a uma reta, e que é esta:

d = | Ax₀ + By₀ + C | / √(A² + B²).

Note que já dispomos dos seguintes dados para substituir na fórmula acima, levando-se em conta o ponto (0; -4) e a reta "s" de equação " x + y + 2 = 0 ":

A = 1 ---- (é o coeficiente de "x" na reta "s")
B = 1 --- (é o coeficiente de "y" na reta "s")
C = 2 --- (é o coeficiente do termo independente na reta "s")
x₀ = 0 ---- (é a abscissa do ponto encontrado na reta "r")
y₀ = -4 --- (é a ordenada do ponto encontrado na reta "r").

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula da distância (d) acima, teremos:

d = | 1*0 + 1*(-4) + 2 | / √(1²+1²)
d = | 0 - 4 + 2 | / √(1+1)
d = | -4 + 2 | / √(2)
d = | - 2 | / √(2) ------- note que | - 2 | = 2. Assim, teremos:
d = 2 / √(2) ----- para racionalizar, vamos multiplicar numerador e denominador por √(2). Assim, teremos:

d = 2*√(2) / √(2)*√(2)
d = 2√(2) / √(2*2)
d = 2√(2) / √(4) --------- como √(4) = 2, teremos:
d = 2√(2) / 2 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos:
d = √(2) u.m. <---- Esta é a resposta (obs: u.m. = unidades de medida).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.