Question

Calcule a distância entre as retas paralelas r: 3x - 4y + 7 = 0 e s: 3x - 4y - 8 = 0

Answer 1

Olá


Distância entre retas paralelas, Geometria analítica.


r: 3x - 4y + 7 = 0
s: 3x - 4y - 8 = 0



Duas retas paralelas sempre terão a mesma distância, não importa em qual ponto da reta ela esteja.

Dito isso, temos que encontrar um ponto qualquer da reta, para assim, determinarmos a distância entre elas. Para isso nós indicaremos um valor para 'x', com isso encontraremos um valor para 'y'.


supondo que

x = 0


Vamos substituir o 'x' por zero.

Substituindo na reta 's'


s: 3x - 4y - 8 = 0

3(0) - 4y - 8 = 0

0 - 4y - 8 = 0

-4y = 8

4y = -8

y = -8/4

y = -2


Então o par ordenada desse ponto é

P(0, -2)



Agora vamos pegar esse ponto 'P' que encontramos na reta 's', e vamos calcular a distancia entre 'P' até a reta 'r'... Sacou a ideia?



A distância entre um ponto e uma reta é calculada a partir da seguinte fórmula:


$\displaystyle \mathsf{distancia(Ponto,~reta)~=~ \frac{|ax +by+c|}{ \sqrt{a^2+b^2} } }$


'a' é o número que está junto ao 'x'
'b' o número que está junto ao 'y'
'c' o número que está sozinho


Lembrando que essa fórmula só pode ser utilizada se a reta estiver na forma geral

ax + by + c = 0           (igualada a zero)



P = (0, -2)


Substituiremos o ponto 'P' no lugar de 'x' e 'y'  de acordo com suas coordenadas.


Calculando



$\displaystyle \mathsf{d(P,~r)~=~ \frac{|3(0) -4(-2)+7|}{ \sqrt{(3)^2+(-4)^2} } }\\\\\\\\\mathsf{d(P,~r)~=~ \frac{|0 +8+7|}{ \sqrt{9+16} } }\\\\\\\mathsf{d(P,~r)~=~ \frac{|15|}{ \sqrt{25} } }\\\\\\\mathsf{ d(P,~r)=\frac{15}{5} }\\\\\\\boxed{\mathsf{ d(P,~r)=3 }}$





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