Question

Calcule a distância entre a reta r, que passa pelos pontos A ( -7;10) B (5;-6) e C (3;5)

Answer 1

Se desenharmos estes pontos em um plano cartesiano e ligarmos um seguimento de reta que passe pelo ponto A, B e C, veremos que ele não é uma reta só, mas sim duas. Para saberos a distância desta reta ABC, calcularemos a distância da reta AC e a distância da reta CB e depois somaresmos os valores.

OBSERVE A PRIMEIRA IMAGEM

Primeiro, calcularemos a distância da Reta AC
Ponto A(-7,10), Ponto C(3,5)

Perceba na segunda imagem que conseguimos formar um triangulo retângulo (que possui um angulo de 90º) com a reta AC.
Repare que neste triângulo, a reta AC é a hipotenusa.
Para acharmos esta hipotenusa, vamos descobrir quanto vale os catetos, primeiro.
Vou chamar os catetos de CatetoX e CatetoY, ou, Cx e Cy.
CatetoX é o cateto paralelo com o Eixo X (Horizontal. DEITADO)
CatetoY é o cateto paralelo com o Eixo Y (Vertical. EM PÉ)

Sabemos que o par ordenado é determinado por: Ponto(x,y), ou seja, o ponto
A(-7,10) é formado pelo ponto que fica no X= -7 e no Y=10. E o ponto
C(3,5) é formado pelo ponto que fica no X=3 e no Y=5

Para acharmos o CatetoX faremos a subtração do valor de X do ponto C pelo valor de X do ponto A. Desta forma:
Cx = C(x) - A(x)
Cx = 3 - (-7) (lembrando que tem o menos da fórmula e o menos do 7)
Cx = 3+7
Cx = 10

Agora vamos achar CatetoY, pelo mesmo processo. Subtração do valor de Y do ponto C pelo valor de Y do ponto A.
Cy = C(y) - A(y)
Cy = 5 - 10
Cy = -5
Como estamos falando de uma distância, não utilizaremos valores negativos, apenas positivos.
Então Cy = 5

Pronto, agora já temos os dois catetos: Cx = 10 e Cy = 5
Lembra da fórmula do teorema de Pitágoras?
"A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa" OU
$h^2 = Cx^2+Cy^2$
Vamos substituir as letras pelos numeros:
$h^2 = 10^2+5^2$
(agora calculamos 10² e 5²)
$h^2 = 100+25 \\ \\ h^2 = 125$
(agora, se estamos elevando h ao quadrado, então tiraremos a raiz dos dois lados)
$h^2 = 125 \\ \\ \sqrt{h^2} = \sqrt{125} \\ \\ \boxed{h=25}$

Descobrimos que h = 25. Quem é h? É a hipotenusa e também é o tamanho da nossa Reta AC (Veja a imagem 3)

Agora faremos a reta CB, rapidinho.
Ponto C(3,5) X=3 e Y=5
Ponto B(5,-6) X=5 e Y= -6

Achando CatetoX
Cx = C(x) - B(x)
Cx = 3 - 5
Cx = -2 [Como estamos calculando distância, pegaremos o valor POSITIVO, pois não existe distância negativa]
Cx = 2

Achando CatetoY
Cy = C(y) - B(y)
Cy = 5 - (-6)
Cy = 5 + 6
Cy = 11

Agora que já temos Cx = 2 e Cy = 11, acharemos a hipotenusa.
$h^2 = Cx^2+Cy^2$
Substituindo os as letras pelos números:
$h^2 = 2^2+11^2$
(calculando os valores)
$h^2 = 4+121 \\ \\ h^2=125$
(como h está sendo elevado ao quadrado, tiramos a raiz dos dois lados)
$\sqrt{h^2} =\sqrt{125} \\ \\ \boxed{h=25}$

Então a distância da Reta CB é de 25

Agora que sabemos
AC = 25
CB = 25
Somamos as distâncias das duas retas

AC + CB = 25 + 25 = 50

Ou seja,
R: A distância entre a Reta R que passa pelos pontos A(-7,10). B(5,-6) e C(3,5) é de 50.

R: 50