Question

Calcule a distância do ponto P = (4, -2) à reta que passa pelos pontos A = (-2, 3) e B = (2, 1).

Answer 1

Tendo dois pontos :

$\text{A}(\text x_1,\text y_1) \ , \ \text B(\text x_2,\text y_2)$

a equação da reta que passam por esses pontos é :

$\text y- \text y_1 = \text m.(\text x - \text x _1)$

sendo :

$\displaystyle \text m = \frac{\text y_2 - \text y_1 }{\text x_2-\text x_1}$

Seja uma reta qualquer : $\text{a.x + b.y + c = 0}$

E um ponto qualquer : $\text P(\text x_0, \text y_0)$

A distância do ponto P até a reta será dado por :

$\displaystyle \text D = \frac{|\text a.\text x_o + \text b.\text y_o +\text c |}{\sqrt{\text a ^2+\text b^2}}$

Bora pra questão

Queremos a distância do ponto P = ( 4, -2 ) até a reta que passa pelos pontos  A = (-2, 3) e B = (2, 1).

1º vamos achar a equação da reta:

$\displaystyle \text m = \frac{1-3}{2-(-2)} \to \text m = \frac{-2}{4} \to \boxed{\text m = \frac{-1}{2}}$

2º substituindo qualquer um dos pontos na equação da reta :

$\text y - \text y_o = \text m.(\text x - \text x_o)$

$\displaystyle \text y - 1 = \frac{-1}{2}.(\text x - 2)$

$\displaystyle 2.\text y -2 = -\text x + 2$

$\boxed{\text x + 2.\text y - 4 = 0}$

3º Fazendo a distância do ponto P = ( 4, - 2 ) até a reta :

$\displaystyle \text D = \frac{|\text a.\text x_o + \text b.\text y_o +\text c |}{\sqrt{\text a ^2+\text b^2}}$

$\displaystyle \text D = \frac{|1.4+ 2.(-2) -4 |}{\sqrt{1^2+2^2}}$

$\displaystyle \text D = \frac{|-4 |}{\sqrt{5}}$

$\displaystyle \text D = \frac{4}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Portanto, a distância do ponto P até a reta é :

$\huge\boxed{\bold{\displaystyle \text D = \frac{4\sqrt{5}}{5}}}$