Question

Calcule a distância do ponto P (2,0,7) à reta dada pelas equações simétricas:

Assinale a ALTERNATIVA CORRETA.



A)
4√5/3

B)
4√7/3

C)
4√8/3

D)
2√5/3

E)
3√5/3

Answer 1

A distância entre o ponto P = (2,0,7) e à reta dada é 4√5/3.

Vamos escrever as equações paramétricas da reta. Para isso, considere o parâmetro real t.

Assim, temos que:

x/2 = t

x = 2t

(y - 2)/2 = t

y - 2 = 2t

y = 2 + 2t

(z - 6)/1 = t

z - 6 = t

z = 6 + t.

Portanto, as equações paramétricas da reta são:

{x = 2t

{y = 2 + 2t

{z = 6 + t.

Os pontos da reta são da forma Q = (2t, 2 + 2t, 6 + t).

Fazendo o vetor PQ, obtemos:

PQ = (2t, 2 + 2t, 6 + t) - (2,0,7)

PQ = (2t - 2, 2 + 2t, t - 1).

O vetor PQ é perpendicular ao vetor direção da reta, que é u = (2,2,1). Então, o produto interno entre eles é igual a 0:

<PQ,u> = 0

2(2t - 2) + 2(2 + 2t) + 1(t - 1) = 0

4t - 4 + 4 + 4t + t - 1 = 0

9t - 1 = 0

t = 1/9.

Logo, o ponto Q é igual a Q = (2/9,20/9,55/9).

Portanto, a distância entre a reta e o ponto é igual a:

d² = (2/9 - 2)² + (20/9 - 0)² + (55/9 - 7)²

d² = (-16/9)² + (20/9)² + (-8/9)²

d² = 256/81 + 400/81 + 64/81

d² = 720/81

d = 12√5/9

d = 4√5/3.