Question

Calcule a distância do ponto P(-1,0) e a reta r: (x/3) + (y/4) = 1

Answer 1

$D = \frac{|\frac{-1}{3} + \frac{0}{4} -1|}{\sqrt{(\frac{1}{3})^{2} +(\frac{1}{4}) ^{2} } } \\\\ D = \frac{| \frac{-1}{3} -1|}{\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{16} } } \\\\ D = \frac{|\frac{-1-3}{3} |}{\sqrt{\frac{16 + 9 }{144} } }\\\\ D = \frac{|\frac{-4}{3} |}{\sqrt{\frac{25}{144} } } \\\\ D = \frac{\frac{4}{3} }{\frac{5}{12} } \\\\ D = \frac{4 . 12}{3 . 5} \\\\ D = \frac{48}{15} \\\\ D = 3,2 u.c.$

Answer 2

Com os cálculos realizados concluímos que que a distância procurada é de 3,2 unidades.

Seja a reta r dada pela equação geral $\boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf r: ax+by + c = 0 }$. A distância entre um ponto $\boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf P (x_P , y_P) }$ e r é definida por:

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{ \mid a \cdot x_P + b \cdot y_P + c \mid }{ \sqrt{a^2 + b^2} } } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf P(-1,0) \\ \\ \sf r: \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \end{cases}$

Aplicando na fórmula da distância , obtemos:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf P(-1,0) \\ \\ \sf r: \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} - 1 = 0\end{cases}$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{ \mid a \cdot x_P + b \cdot y_P + c \mid }{ \sqrt{a^2 + b^2} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{ \left| \dfrac{1}{3} \cdot (-1) + \dfrac{1}{4} \cdot0 + (-1) \right| }{ \sqrt{ \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 + \left( \dfrac{1}{4} \right)^2 } } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{ \left| \dfrac{-1}{3} + 0 - 1\right| }{ \sqrt{ \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} }} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{ \left| \dfrac{-1}{3} - 1\right| }{ \sqrt{ \dfrac{16}{144} + \dfrac{9}{144} }} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{ \left| \dfrac{-1}{3} - \dfrac{3}{3} \right| }{ \sqrt{ \dfrac{25}{144} }} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{ \left| - \dfrac{4}{3} \right| }{ \dfrac{5}{12} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{4}{\backslash\!\!\!{ 3}\:^1} \times \dfrac{ \backslash\!\!\!{1} \backslash\!\!\!{2}\:^4}{5} } }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf d = \dfrac{16}{5} ~ ou~ 3,2 \; u }} }$

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