Calcule a distância do ponto A( 5, -12 ) à origem do sistema cartesiano e assinale a alternativa correta.
A)11
B)12
C)15
D)13
E)16
Soluções para a tarefa
Resposta:
A distância do ponto A à origem é de 13 u.c. , portanto D )
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
Calcule a distância do ponto A( 5, -12 ) à origem do sistema cartesiano e assinale a alternativa correta.
A)11 B)12 C)15 D)13 E)16
Resolução:
1) Método geral
Para resolver este problema vou considerar os dois pontos indicados no enunciado A ( 5 ; -12) e vou chamar B ( 0 ; 0 ) , ao ponto origem do sistema cartesiano.
Seja
xa → abcissa do ponto A
ya → ordenada do ponto A
xb → abcissa do ponto B
yb → ordenada do ponto B
A fórmula de cálculo da distância ( d ) entre dois pontos no plano é:
d² = ( xb - xa )² + ( yb - ya )²
donde se tira
d = √( xb - xa )² + ( yb - ya )²
A expressão ( xb - xa )² + ( yb - ya )² está toda debaixo da raiz quadrada
d = √( 0 - 5 )² + ( 0 - ( -12 ) )²
⇔
d = √( 25 + 144)
⇔
d = √169 = 13 u . c .
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2º Método (particular para quando um dos pontos é a origem)
O caso de se calcular a distância de um ponto à origem ( que aqui , por conveniência ,chamei de B ( 0 ; 0 ) pode ser resolvido como acima o fiz.
Foi pela fórmula geral da distância entre dois pontos, conhecidas suas coordenadas.
Mas também pode ser resolvido,mais rapidamente usando o Teorema de Pitágoras.
Pegando no retângulo ACBD temos que a distância do ponto A à origem ponto chamado aqui de B, é nada mais do que o valor da diagonal [AB] deste retângulo.
O triângulo ACB é triângulo retângulo no vértice C.
[ AB] é a hipotenusa desse triângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras ,
[ AB ] ² = [ AC ] ² + [ CB ] ²
⇔
[ AB ] ² = 12 ² + 5 ²
⇔
[ AB ] ² = 169
⇔
[ AB ] = √169 = 13 u.c.
Y
↑
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| C
-------------------------- º----------º-------------------------→ X
B ( 0,0) | |
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D º---------- º A ( 5 ; -12)
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Assim quando lhe pedirem a distância de um ponto ( que não esteja nem no eixo dos xx , nem no eixo dos yy ) à origem, basta fazer como no 2º método , aplicando Teorema de Pitágoras.
Se apenas quiser saber o valor da distância basta este rápido e pequeno cálculo.
Se pretender dizer o porquê , tem aqui a explicação da aplicação do Teorema de Pitágoras.
Sinais : ( ⇔ ) equivalente a ( u.c.) unidade de comprimento
[ ] segmento de reta
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e um bom dia para si.