Question

Calcule a derivada:

S=(a+bt+ct²)/t^1/2

*Obs. Pode-se fazer tbm como sobre raiz de t

Answer 1

Considerando:
$\displaystyle s(t)=\frac{a+bt+ct^2}{\sqrt{t}}$
farei passo a passo:

I) REGRA DO QUOCIENTE:
Se temos uma razão com duas funções, derivamos com a regra do quociente:
$\displaystyle f=\frac{u}{v}\implies f'=\frac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2}$
onde usei a notação de ' para derivada:

logo:
$\displaystyle s(t)=\frac{u(t)}{v(t)}$
tal que
$\displaystyle u(t)=a+bt+ct^2\\v(t)=\sqrt{t}$

II) CALCULAR A DERIVADA DE u e  v:

$\displaystyle \frac{du}{dt}=b+2ct=u'\\\\\frac{dv}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{t}}=v'$

III) USAR A REGRA DO QUOCIENTE:

$\displaystyle \frac{ds}{dt}=\frac{(b+2ct)\sqrt{t}-\left(\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)(a+bt+ct^2)}{(\sqrt{t})^2}\\\\\\i)~~~~\frac{ds}{dt}=\frac{b\sqrt{t}+2ct^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{a+bt+ct^2}{2\sqrt{t}}\right)}{t}\\\\\\ii)~~~\frac{ds}{dt}=\frac{\frac{2bt+4ct^2-(a+bt+ct^2)}{2\sqrt{t}}}{t}\\\\\\iii)~~\frac{ds}{dt}=\frac{-a+2bt-bt+4ct^2-ct^2}{2(\sqrt t)^3}=\boxed{\frac{-a+bt+3ct^2}{2t^{\frac{3}{2}}}}$

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$\displaystyle \frac{\frac{2bt+4ct^2-(a+bt+ct^2)}{2\sqrt{t}}}{t}=\frac{\frac{2bt+4ct^2-(a+bt+ct^2)}{2\sqrt{t}}}{\frac{t}{1}}=\frac{2bt+4ct^2-(a+bt+ct^2)}{2\sqrt{t}}\cdot\frac{1}{t}$
$\displaystyle \frac{2bt+4ct^2-(a+bt+ct^2)}{2t^{\frac{1}{2}}\cdot t}=\frac{-a+bt+3ct^2}{2t^{\frac{1}{2}+1}}=\boxed{\frac{-a+bt+3ct^2}{2t^{\frac{3}{2}}}}$
observe que:
$t^{\frac{1}{2}}=\sqrt{t}\implies (t^{\frac{1}{2}})^3=(\sqrt{t})^3=t^{\frac{3}{2}}$

$\displaystyle \boxed{\frac{-a+bt+3ct^2}{2t^{\frac{3}{2}}}\therefore\frac{-a+bt+3ct^2}{2(\sqrt{t})^3}}$