Question

Calcule a derivada primeira de cada função dada a seguir:

a) f(x) = ln(arctg(2x² + 5))
b) f(x) = earctg √x + arctg(arctg e^x).

urgente​

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$a) f(x) = \ln( \arctg(2x² + 5)) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ b) f(x) = e^{ \arctg \sqrt{ x} }+ \arctg( \arctg (e^x)) \: \: \:$

Como são funções bem peculiares, vamos resolver separadamente cada uma das derivadas.

• Primeira função:

$f(x) = \ln( \arctg(2x {}^{2} + 5))$

Como sabemos, a derivada da função do logarítmo natural, é igual a 1 sobre a função que está dentro do parêntese, multiplicada pela derivada da função de dentro do parêntese, logo:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{ \arctg(2x {}^{2} + 5)} . \frac{d}{dx} \arctg(2x {}^{2} + 5)$

A derivada do arco tangente é meio que imediata, o seu resultado é dado pela seguinte relação:

$\boxed{y = \arctg(x) \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x {}^{2} + 1 } . \frac{d}{dx}x }$

Sendo esse (x) do denominador a função que está dentro do parêntese e também devemos multiplicar pela derivada da função de dentro do parêntese, caso reste.

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \arctg(2x {}^{2} + 5)} .\frac{1}{( 2x {}^{2} {}^{} + 5) {}^{2} + 1 } . \frac{d}{dx} (2x {}^{2} + 5) \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \arctg(2x {}^{2} + 5).( (2x {}^{2} + 5) {}^{2} + 1 )} . (4x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{4x }{ \arctg(2x {}^{2} + 5).((2x {}^{2} + 5) {}^{2} + 1))}} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Essa e a derivada da primeira. Agora vamos partir para a segunda funcao.

• Segunda função:

$f(x) = e {}^{ \arctg( \sqrt{x} )} + \arctg( \arctg(e {}^{x} ))$

Vamos começar aplicando a derivada nos dois membros da função:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} e {}^{ \arctg( \sqrt{x} )} + \frac{d}{dx} \arctg( \arctg( e {}^{x} ))$

Vamos ter que aplicar a regra da cadeia nesses dois elementos da função:

$\frac{df(x)}{dx} = e {}^{ \arctg( \sqrt{x}) } . \frac{d}{dx}( \arctg( \sqrt{x} )) + \frac{1}{( \arctg(e {}^{x})) {}^{2} + 1 } . \frac{d}{dx} ( \arctg(e {}^{x} )) \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = e {}^{ \arctg( \sqrt{x}) } . \left( \frac{1}{( \sqrt{x}) {}^{2} + 1 } \right). \frac{d}{dx} ( \sqrt{x} ) + \frac{1}{( \arctg(e {}^{x})) {}^{2} + 1 } . \frac{1}{(e {}^{x} ) {}^{2} + 1 } . \frac{d}{dx} (e {}^{x} ) \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = e {}^{ \arctg( \sqrt{x} )} . \frac{1}{x + 1} . \frac{1}{2 \sqrt{x} } + \frac{1}{( \arctg(e {}^{x})) {}^{2} + 1 } . \frac{1}{(e {}^{x} ) {}^{2} + 1} .e {}^{x} \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{df(x)}{dx} = \frac{e {}^{ \arctg(\sqrt{x} )} }{(x + 1).(2 \sqrt{x} )} + \frac{e {}^{x} }{(( \arctg(e {}^{x} )) {}^{2} + 1).((e {}^{x}) {}^{2} + 1) }}}$

Espero ter ajudado