Question

Calcule a derivada primeira da função y = In (x+√(x+2))



Vou mandar as alternativas

Answer 1

Observe que para derivar a função descrita no enunciado, precisamos utilizar a Regra da Cadeia.

Para isso, sabemos que a derivada da função ln(x) é igual a: $(ln(x))' = \frac{1}{x}.x'$.

Sendo assim, a derivada de y = ln(x + √x + 2) é igual a:

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x+2}}.(x + \sqrt{x+2})'$

Agora, precisamos derivar o numerador da fração encontrada acima.

Para isso, lembre-se que a derivada da raiz quadrada é igual a:

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}.(x)'$.

Dito isso, obtemos o seguinte resultado:

$y'=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x+2}}}{x+\sqrt{x+2}}$

Agora, basta desenvolver a fração acima:

$y'=\frac{2\sqrt{x+2}+1}{2\sqrt{x+2}}.\frac{1}{x+\sqrt{x+2}}$

$y'=\frac{2\sqrt{x+2}+1}{2x\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+2}.\sqrt{x+2}}$

Colocando 2√x + 2 em evidência no denominador:

$y'=\frac{2\sqrt{x+2}+1}{2\sqrt{x+2}(x + \sqrt{x+2})}$.