Question

Calcule a derivada pela definição das seguintes funções:
a) h(x) = $\sqrt[3]{ x^{2} } -5$
b i(x) = $\frac{2}{ x^{2}-1 }$

Answer 1

a) $h(x)=\,^{3}\!\!\!\sqrt{x^{2}}-5$

$h(x)=x^{2/3}-5$

$\bullet\;\;$ Calculando a razão incremental $\dfrac{\Delta h}{\Delta x}:$

$\dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{h(x+p)-h(x)}{p}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{[(x+p)^{2/3}-5]-(x^{2/3}-5)}{p}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{(x+p)^{2/3}-\diagup\!\!\!\! 5-x^{2/3}+\diagup\!\!\!\! 5}{p}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{(x+p)^{2/3}-x^{2/3}}{p}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Fazendo a seguinte mudança de variável:

$u=(x+p)^{2/3}\\ \\ v=x^{2/3}$


substituindo apenas no numerador em $\mathbf{(i)},$ temos:

$\dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{u-v}{p}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta h}{p}$


Para fazer desaparecer as raízes cúbicas, multiplicamos o numerador e o denominador por $(u^{2}+uv+v^{2}):$

$\dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{(u-v)\cdot (u^{2}+uv+v^{2})}{p\cdot (u^{2}+uv+v^{2})}$


Desenvolvendo o numerador, fizemos aparecer $(u^{3}-v^{3}):$

$\dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{u^{3}-v^{3}}{p\cdot (u^{2}+uv+v^{2})}$


Substituindo de volta $u$ e $v$ pelos seus valores originais no numerador, obtemos

$\dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{[(x+p)^{2/3}]^{3}-(x^{2/3})^{3}}{p\cdot (u^{2}+uv+v^{2})}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{(x+p)^{2}-x^{2}}{p\cdot (u^{2}+uv+v^{2})}$


No numerador, temos uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada por produtos notáveis:

$\dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{[(x+p)-x]\cdot [(x+p)+x]}{p\cdot (u^{2}+uv+v^{2})}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{\diagup\!\!\!\! p\cdot (2x+p)}{\diagup\!\!\!\! p\cdot (u^{2}+uv+v^{2})}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{2x+p}{u^{2}+uv+v^{2}}$


Substituindo de volta $u$ e $v$ no denominador, chegamos a

$\dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{2x+p}{[(x+p)^{2/3}]^{2}+(x+p)^{2/3}\cdot x^{2/3}+(x^{2/3})^{2}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\dfrac{\Delta h}{p}=\dfrac{2x+p}{(x+p)^{4/3}+(x+p)^{2/3}\cdot x^{2/3}+x^{4/3}} \end{array}}$


$\bullet\;\;$ A derivada da função $h$ é o limite da razão incremental acima, quando o incremento $p$ tende a zero:

$\dfrac{dh}{dx}=\underset{p \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\Delta h}{p}\\ \\ \\ =\underset{p \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2x+p}{(x+p)^{4/3}+(x+p)^{2/3}\cdot x^{2/3}+x^{4/3}}\\ \\ \\ =\dfrac{2x+0}{(x+0)^{4/3}+(x+0)^{2/3}\cdot x^{2/3}+x^{4/3}}\\ \\ \\ =\dfrac{2x}{x^{4/3}+x^{2/3}\cdot x^{2/3}+x^{4/3}}\\ \\ \\ =\dfrac{2x}{x^{4/3}+x^{4/3}+x^{4/3}}\\ \\ \\ =\dfrac{2x}{3x^{4/3}}\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\,\dfrac{x}{x^{4/3}}\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\,\dfrac{\diagup\!\!\!\! x}{\diagup\!\!\!\! x\cdot x^{1/3}}\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\,\dfrac{1}{x^{1/3}}\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3\,^{3}\!\!\!\sqrt{x}}$