Matemática, perguntado por Pedro12x, 8 meses atrás

Calcule a derivada parcial em relação a x da função

$z=\sqrt{x^2+y^2}$

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a derivada parcial de primeira ordem da referida função, que representa um cone de uma folha, em termos da incógnita "x" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{x}(x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a função:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\end{gathered}$}$

Se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = f(x, y)\end{gathered}$}$

Então, podemos reescrever a função como:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\end{gathered}$}$

Outra coisa, como esta função se resume basicamente à raiz quadrada da soma dos quadrados de dois números, e tal função representa a superfície "S", então ela pode ser reescrita, sem perda alguma de generalidades, da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}S = f(x, y) = (x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2}}\end{gathered}$}$

Para calcular a derivada parcial de uma função em termos de uma determinada incógnita devemos considerar todas as demais incógnitas como constantes. Além disso, para calcularmos a derivada parcial dessa função em termos da incógnita "x" devemos utilizar basicamente as seguintes regras de derivação:

Regra da potência.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = x^{n}\Longrightarrow f'(x) = n\cdot x^{n - 1}\end{gathered}$}$

Regra da cadeia.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:h(x) = f(g(x)) \Longrightarrow h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)\end{gathered}$}$

Além disso, uma das formas para a notação de derivada primeira de uma função em duas variáveis em termos de "x" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f_{x}(x, y)\end{gathered}$}$

Após relembrarmos as regras de derivação, fazemos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f_{x}(x, y) = \frac{1}{2}\cdot(x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2} - 1}\cdot2\cdot x^{2 - 1}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{1}{2}\cdot(x^{2} + y^{2})^{-\frac{1}{2}}\cdot{2}\cdot x\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{1}{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot\frac{1}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2}}}\cdot{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot x\end{gathered}$}$