Question

Calcule a derivada implícita x³y² – 4x³ – 3xy² – seny = 3x – 2y

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\sf x {}^{3} y {}^{2} - 4x {}^{3} - 3xy {}^{2} - seny = 3x - 2y$

Aplicando a derivada em relação a "x" em todos os termos, teremos que:

$\sf \frac{d}{dx} (x {}^{3} y {}^{2} ) - \frac{d}{dx} 4x {}^{3} - 3\frac{d}{dx} .(xy {}^{2} ) - \frac{d}{dx} sen(y) = \frac{d}{dx} (3x) - \frac{d}{dx}( 2y)$

Note que tem-se alguns produtos de funções, então é necessário aplicar a regra do produto:

$\sf \frac{d}{dx}( x {}^{3} ).y {}^{2} + x {}^{3}. \frac{d}{dx}y {}^{2} - 12x {}^{2} - 3. \left( \frac{d}{dx}(x).y {}^{2} + x. \frac{d}{dx} y {}^{2} \right) - cos(y). \frac{dy}{dx} = 3 - 2. \frac{dy}{dx} \\ \\ \sf 3x {}^{2} .y {}^{2} + x {}^{3} . 2y.\frac{d}{dx} - 12x {}^{2} - 3y {}^{2} - 3.x.2y. \frac{dy}{dx} -cos(y) .\frac{dy}{dx} = 3 - 2. \frac{dy}{dx} \\ \\ \sf x {}^{3}. 2y . \frac{dy}{dx} - 6x.y. \frac{dy}{dx} - cos(y). \frac{dy}{dx} + 2. \frac{dy}{dx} = - 3x {}^{2} .y {}^{2} + 12x {}^{2} + 3y {}^{2} + 3 \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} .(x {}^{3}. 2y - 6xy - cos(y) + 2) = - 3x {}^{2} .y {}^{2} + 12x {}^{2} + 3y {}^{2} + 3 \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf \frac{dy}{dx} = \frac{- 3x {}^{2} .y {}^{2} + 12x {}^{2} + 3y {}^{2} + 3}{x {}^{3} .2y - 6xy - cos(y) + 2} }}}}$

Espero ter ajudado