Question

Calcule a derivada
h(x)=√ (1/x^2+1)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$h(x) = \sqrt{ \frac{1}{x {}^{2} + 1} }$

Primeiro vamos transformar esse radical em uma potência, para isso usaremos uma propriedade de potência:

$\boxed{ \bf\sqrt[n]{a {}^{m} } = a {}^{ \frac{m}{n} } } \\ \\ h(x) = \left( \frac{1}{x {}^{2} + 1 } \right) {}^{ \frac{1}{2} }$

Observe que trata-se de uma função composta, ou seja, é necessário aplicarmos a regra da cadeia nessa função, essa tal regra diz que:

$\boxed{ \bf(f {}^{n} )' = n.f {}^{n - 1} .f'}$

Aplicando mais outra relação, temos que:

$h'(x) = \frac{1}{2} . \left( \frac{1}{x {}^{2} + 1} \right) {}^{ \frac{1}{2} - 1 } .\left( \frac{1}{x {}^{2} + 1} \right), \\ \\ h'(x) = \frac{1}{2} .\left( \frac{1}{x {}^{2} + 1} \right) {}^{ - \frac{1}{2} } .\left( \frac{1}{x {}^{2} + 1} \right)' \:$

Para derivar essa função do parêntese, devemos usar a regra do quociente, que diz:

$\boxed{ \bf \left (\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - f.g'}{g {}^{2} } }$

Aplicando essa relação naquele parêntese:

$\left( \frac{1}{x {}^{2} + 1} \right)' = \frac{1 '.(x {}^{2} + 1) - 1.(x {}^{2} + 1)' }{(x {}^{2} + 1) {}^{2} } \\ \\ \left( \frac{1}{x {}^{2} + 1} \right)' = \frac{0.(x {}^{2} + 1) - 1.(2x) }{(x {}^{2} + 1) {}^{2} } \\ \\ \left( \frac{1}{x {}^{2} + 1} \right)' = \frac{ - 2x}{(x {}^{2} + 1) { }^{2} }$

Substituindo esse resultado onde paramos:

$h'(x) = \frac{1}{2} .\left( \frac{1}{x {}^{2} + 1} \right) {}^{ - \frac{1}{2} } . \frac{ - 2x}{(x {}^{2} + 1) { }^{2} } \\ \\ h'(x) = \frac{ - 2x}{2} .\left( \frac{1}{x {}^{2} + 1} \right) {}^{ - \frac{1}{2} } . \frac{1}{(x {}^{2} + 1) {}^{2} } \\ \\ h'(x) = \left( \frac{1}{x {}^{2} + 1} \right) {}^{ \frac{ - 1}{2} } . \frac{ - x}{(x {}^{2} + 1) {}^{2} } \\ \\ h'(x) = \frac{1 {}^{ - \frac{1}{2} } }{(x {}^{2} + 1) {}^{ - \frac{1}{2} } } . \frac{ - x}{(x {}^{2} + 1) {}^{2} } \\ \\ h'(x) = \frac{ - x.1 {}^{ - \frac{1}{2} } }{(x {}^{2} + 1) {}^{ - \frac{1}{2} + 2} } \\ \\ h'(x) = \frac{ - x.1 {}^{ - \frac{1}{2} } }{(x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{3}{2} } } \\ \\ \boxed{ h'(x) = \frac{ - x}{(x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{3}{2} } } }$

Espero ter ajudado