Question

Calcule a derivada f ' (x₀) em cada caso.
(a) f(x) = 3x² − 5x + 1 e x₀ = 2

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = 3x {}^{2} - 5x + 1$

A questão pede para derivarmos essa tal função e no final fazer uma certa substituição. Para derivar essa função, vamos partir da derivação pela definição formal de derivada, que diz:

$\boxed{f'(x) =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x + x)-f(x)}{\Delta x}}$

Primeiro vamos calcular o resultado da função f(∆x + x), ou seja, onde tiver "x" vamos substituir por ∆x + x, então vamos ter que:

$f(\Delta x + x) = 3x {}^{2} - 5x + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f(\Delta x + x) = 3.(\Delta x + x) {}^{2} - 5(\Delta x + x) + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ \\ f(\Delta x + x) = 3.(\Delta x {}^{2} + 2x \Delta x + x {}^{2} ) - 5\Delta x - 5x + 1 \: \: \\ f(\Delta x + x) = 3\Delta x {}^{2} + 6x\Delta x + 3x {}^{2} - 5\Delta x - 5x + 1 \: \: \:$

Agora vamos substituir os dados na fórmula:

$f'(x) =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x + x)-f(x)}{\Delta x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f'(x) =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x {}^{2} + 6x\Delta x + 3x {}^{2} - 5\Delta x - 5x + 1-(3x {}^{2} - 5x + 1) }{\Delta x} \\ f'(x) =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{3 \Delta x {}^{2} + 6x\Delta x - 5 \Delta x }{\Delta x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f'(x) =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(3\Delta x + 6x - 5)\: }{\Delta x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f'(x) =\lim_{\Delta x \to 0} 3\Delta x + 6x - 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f'(x) =\lim_{\Delta x \to 0} 3.0 + 6x - 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ f'(x) = 6x - 5}$

Substituindo o valor informado na questão:

$f'(x) = 6x - 5 \\ f'(2) = 6.2 - 5 \\ f'(2) = 12 - 5 \: \\ f'(2) = 7 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado