Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = x² + 2xy - y² no ponto (2,1), na direção tangente a curva x² + y² = 2 no ponto (1,1).
Yoda:
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Olá.
____________________
Parte 1: Gradiente de f
Para calcular uma derivada direcional, precisamos do gradiente da função que queremos diferenciar e de um vetor unitário da direção procurada. Vamos calcular o gradiente que é simples e guardaremos o resultado:
____________________
Parte 2: Cálculo do vetor tangente à curva
Modo 1: Parametrizamos a curva que é uma circunferência. Veja:
Existe algo que se somarmos ao quadrado dá 1? Veja que o seno e o cosseno de qualquer ângulo satisfazem isso. Por isso, fazemos:
Fizemos a curva
A reta tangente em cada ponto é:
Queremos que x = 1 e y = 1. Veja que t = π/4 gera esses valores na curva. Vamos usá-lo na derivada:
O vetor unitário da direção tangente é o produto de (-1,1) pelo inverso de sua norma(que vale √2). Assim:
..............................
Modo 2: usamos a interpretação geométrica do gradiente - Para uma curva de nível f(x,y) = c, o gradiente de f será normal à curva.
Façamos g(x,y) = x² + y². Para g(x,y) = 2, teremos a curva pedida, e o gradiente de g será perpendicular à curva.
Podemos escolher (1,1) por ter a mesma direção de (2,2) e para facilitar contas.
Mas queremos o vetor tangente à curva, não o normal. Para isso, basta fazermos o produto interno por um vetor escolhido de modo que o produto interno se anule. Você pode escolher, nesse caso, (-1,1); (1, -1); (86400, -86400)... Depois basta normalizar o vetor(deixar unitário).
Já vimos ali em cima, vou tomar (-1,1), que normalizado resulta .
===============
Parte 3: Cálculo da derivada direcional pelo algoritmo.
Vamos aplicar o algoritmo:
Dúvidas? Comente :)
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Parte 1: Gradiente de f
Para calcular uma derivada direcional, precisamos do gradiente da função que queremos diferenciar e de um vetor unitário da direção procurada. Vamos calcular o gradiente que é simples e guardaremos o resultado:
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Parte 2: Cálculo do vetor tangente à curva
Modo 1: Parametrizamos a curva que é uma circunferência. Veja:
Existe algo que se somarmos ao quadrado dá 1? Veja que o seno e o cosseno de qualquer ângulo satisfazem isso. Por isso, fazemos:
Fizemos a curva
A reta tangente em cada ponto é:
Queremos que x = 1 e y = 1. Veja que t = π/4 gera esses valores na curva. Vamos usá-lo na derivada:
O vetor unitário da direção tangente é o produto de (-1,1) pelo inverso de sua norma(que vale √2). Assim:
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Modo 2: usamos a interpretação geométrica do gradiente - Para uma curva de nível f(x,y) = c, o gradiente de f será normal à curva.
Façamos g(x,y) = x² + y². Para g(x,y) = 2, teremos a curva pedida, e o gradiente de g será perpendicular à curva.
Podemos escolher (1,1) por ter a mesma direção de (2,2) e para facilitar contas.
Mas queremos o vetor tangente à curva, não o normal. Para isso, basta fazermos o produto interno por um vetor escolhido de modo que o produto interno se anule. Você pode escolher, nesse caso, (-1,1); (1, -1); (86400, -86400)... Depois basta normalizar o vetor(deixar unitário).
Já vimos ali em cima, vou tomar (-1,1), que normalizado resulta .
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Parte 3: Cálculo da derivada direcional pelo algoritmo.
Vamos aplicar o algoritmo:
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