Question

Calcule a derivada de: y = arctg (x - 1/x +1) e

Answer 1

Resposta:

$\boxed{ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x + 1) {}^{2} + (x - 1) {}^{2} } }$

Temos a seguinte função:

$\sf y = arctan \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$

A questão nos pede para derivarmos essa função, mas primeiro vamos lembrar qual é a derivada da função arctan(x), para isso digamos que y é dado por: $\sf y = arctan(x)$

• Essa expressão quer dizer que a tangente de "y" é igual a "x", então: $\sf tan(y) = x$

Derivando os dois lados da equação em relação a "x", temos:

$\sf \frac{d}{dx}[tan(y)] = \frac{d}{dx} (x)$

Aqui temos que aplicar a derivação implícita, ou seja, sempre que derivarmos "y" devemos multiplicar pela derivada da mesma.

$\sf sec {}^{2} (y). \frac{dy}{dx} = 1 \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{sec {}^{2}y } \: \: \: \: \: \:$

Temos que deixar aquela expressão da secante em função de "x", se lembrarmos lá da relação fundamental da trigonometria, como trata-se de uma equação podemos fazer várias coisas em cima da mesma, como por exemplo dividir toda a equação por cos²x, pois se dividirmos todos os termos não vamos alterar nada.

$\sf sen {}^{2} (y) + cos {}^{2} (y) = 1 \: \: \div \: \: (cos {}^{2} (y)) \\ \\ \sf \frac{sen {}^{2} (y)}{cos {}^{2} (y)} + \frac{cos {}^{2}(y) }{cos {}^{2} (y)} = \frac{1}{cos {}^{2} (y)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf tan {}^{2} (y) + 1 = sec {}^{2} (y) \longleftrightarrow \sf sec {}^{2} (y) = 1 + tan {}^{2} (y)}$

Substituindo essa secante que encontramos na relação da derivada:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ sec {}^{2} y} \longleftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + tan {}^{2}y }$

Mas se você observar lá no começo, a tangente de y é igual a x, então podemos usar isso ali na expressão do denominador, só que como está ao quadrado o "x" também estará:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x {}^{2} }$

Portanto podemos concluir que a derivada do arco tangente de x é igual a:

$\boxed{ \sf \frac{dy}{dx} [arctan(x)] = \frac{1}{1 + x {}^{2} } }$

Tendo feito essa demonstração, vamos partir para o nosso cálculo. Para a nosso cálculo temos a seguinte expressão:

$\sf y = arctan \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$

Observe que temos uma função composta, a primeira função é o arcotangente e a segunda função é a que está dentro do parêntese, então vamos dar nomes a elas. Digamos que a função dentro do parêntese, seja "u":

$\sf u = \frac{x - 1}{x + 1}$

Já a função "y" seja arcotangente da função que está dentro do parêntese, mas como nomeamos que a mesma se chama "u", então será:

$\sf y = arctan(u)$

Para funções compostas, devemos fazer a derivação através da regra da cadeira que nos fornece uma base: $\sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$, aplicando:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} [arctan(u)]. \frac{d}{dx} ( \frac{x - 1}{x + 1} )$

A derivada do arcotangente a gente já encontrou, então basta substituir:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u {}^{2} } . \frac{d}{dx} ( \frac{x - 1}{ x+ 1} )$

Para derivar aquela outra parte, temos que usar a regra do quociente que é dada por:

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx}[f(x)] = \frac{ \frac{d}{dx} [g(x)].h(x) - g(x). \frac{d}{dx} [h(x)] }{[h(x)] {}^{2} } }$

Digamos que as funções g(x) e h(x) sejam respectivamente $\sf x -1 \:\: e \:\: x+1$, aplicando:

$\sf \frac{d}{dx } [f(x)] = \frac{ \frac{d}{dx} (x - 1).(x + 1) - (x - 1). \frac{d}{dx} (x + 1)}{(x + 1) {}^{2} } \\ \\ \sf \frac{d}{dx } [f(x)] = \frac{1.(x + 1) - (x - 1).1}{(x + 1) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf \frac{d}{dx } [f(x)] = \frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \boxed{ \sf \frac{d}{dx } [f(x)] = \frac{2}{(x + 1) {}^{2} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo essa derivação:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u {}^{2} }. \frac{2}{(x + 1) {}^{2} }$

Vamos repor o "valor" de "u":

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\frac{x - 1}{x + 1}) {}^{2} } . \frac{2}{(x + 1) {}^{2} } \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \frac{(x - 1) {}^{2} }{(x + 1) {}^{2} } } . \frac{2}{(x + 1) {}^{2} } \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \frac{(x + 1) {}^{2} + (x - 1) {}^{2} }{ \cancel{(x + 1) {}^{2} }} } . \frac{2}{ \cancel{(x + 1) {}^{2} }} \\ \\ \boxed{ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x + 1) {}^{2} + (x - 1) {}^{2} } }$

Espero ter ajudado