Question

Calcule a derivada de $y = arc cos\sqrt{\frac{1+cos x}{2} }$
$y = x\sqrt{a^{2} - x^{2}}+a^{2} arcsen\frac{x}{a}$
$y = x^{tgx}$

Answer 1

Resposta:

Segue  em anexo:

a) $y=arccos(\sqrt{\frac{1+cosx}{2} })$

Chamei U o argumento $\sqrt{\frac{1+cos x}{2} }$.  $U'=\frac{-sinx}{2\sqrt{\frac{1+cosx}{2} } }$

Pela regra da cadeia, derivamos arccos(U)=$\frac{-1}{\sqrt{1-U^{2}} }$

Pela regra da cadeia:

Y'=arccos(U)'*U'

Substituindo U chegamos:

$y'=(\frac{-1}{1-(\frac{1+cosx}{2}) })* \frac{\sqrt{2} }{4}*(\frac{-sinx}{\sqrt{1+cosx} })$

B) $y=x\sqrt{a^{2}-x^{2}} +a^{2}arcsin(\frac{x}{a})$

Aplicamos a regra do produto da derivada na primeira soma e na seguinte, aplicamos a regra da cadeia como no item a.

$y=(1*\sqrt{a^{2}-x^{2}}+x*\frac{-2x}{2\sqrt{a^{2}-x^{2}} } )+a^{2}*(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}} })$

lembre-se $(arcsin(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}} }$

Simplificando:

$y'=\frac{a^{2}-3x^{2}}{a*\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2} } } +\frac{a^{2}}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2} } }$

c) $y=x^{tan(x)}$

Escreveremos esta função de outra forma:

Lembre=se:

$e^{ln(x)}=x$

e Da propriedade do logaritmo de:

$log(x)^{n}=n*log(x)$

Assim:

$y=e^{tan(x)*ln(x)}$

Aplicando regra da cadeia:

$y'=e^{tan(x)*ln(x)}*(sec(x)^{2}*ln(x)+\frac{tan(x)}{x})\\ Assim:\\\\y'=x^{tan(x)}(sec(x)^{2}*ln(x)+\frac{tan(x)}{x} )$