Question

Calcule a derivada de $\frac{x^{2}-1 }{\sqrt{x^{2}+1 } }$

Answer 1

Resposta:

$\Large\boxed{\bold{\dfrac{x^3+3x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a derivada desta função, devemos nos relembrar de algumas técnicas de derivação.

Seja a função racional: $\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Lembre-se que:

• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Calcule a derivada da função

$\left(\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^2+1}}\right)'$

Aplique a regra do quociente

$\dfrac{(x^2-1)'\cdot\sqrt{x^2+1}-(x^2-1)\cdot(\sqrt{x^2+1})'}{(\sqrt{x^2+1})^2}$

Aplique a regra da cadeia e da potência: lembre-se que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.

$\dfrac{(x^2-1)'\cdot\sqrt{x^2+1}-(x^2-1)\cdot(x^2+1)'\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}}{(\sqrt{x^2+1})^2}\\\\\\\\ \dfrac{((x^2)'-(1)')\cdot\sqrt{x^2+1}-(x^2-1)\cdot((x^2)'+(1)')\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}}{(\sqrt{x^2+1})^2}$

Aplique a regra da potência e da constante

$\dfrac{2x\cdot\sqrt{x^2+1}-(x^2-1)\cdot2x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$

Multiplique os valores

$\dfrac{2x\cdot\sqrt{x^2+1}-\dfrac{(x^2-1)\cdot x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$

Some as frações

$\dfrac{\dfrac{2x\cdot(x^2+1)-(x^2-1)\cdot x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{\dfrac{2x^3+2x-x^3+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$

Some os termos semelhantes e calcule a fração de frações

$\dfrac{x^3+3x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}}$

Aplique a propriedade do produto de potências de mesma base

$\dfrac{x^3+3x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

Esta é a derivada desta função.