Question

Calcule a derivada de F ( x ) = ln ( $\sqrt{8x^{3}+5$ )

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{f'(x)=\dfrac{12x^2}{8x^3+5}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a derivada desta função, devemos nos relembrar de algumas técnicas de derivação.

Seja a função:

$f(x)=\ln(\sqrt{8x^3+5})$

Derive ambos os lados da função em respeito à variável $x$

$f'(x)=[\ln(\sqrt{8x^3+5})]'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função logaritmo natural é dada por: $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é calculada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da cadeia:

$f'(x)=(\sqrt{8x^3+5})'\cdot\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+5}}$

Aplique a regra da cadeia e da potência, sabendo que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.

$f'(x)=(8x^3+5)'\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(8x^3+5)^{\frac{1}{2}-1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+5}}$

Aplique a regra da soma

$f'(x)=[(8x^3)'+(5)']\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(8x^3+5)^{-\frac{1}{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+5}}$

Calcule as derivadas e lembrando que $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$, reescreva a potência de expoente fracionário e negativo:

$f'(x)=[8\cdot3x^2+0]\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+5}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+5}}$

Multiplique os valores

$f'(x)=\dfrac{12x^2}{8x^3+5}$

Esta é a derivada desta função.

Veja que também poderíamos ter resolvido da seguinte forma: considerando a regra de logaritmos $\ln(x^n)=n\cdot\ln(x)$ e então aplicar somente uma vez a regra da cadeia, da soma, da potência e chegaríamos o mesmo resultado.