Question

Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Justifique cada resposta.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$c) \: f(x) = x. \ln(x) - \sqrt[3]{x} . \sec(x)$

Primeiro vamos usar a regra do produto citada anteriormente nas duas expressões:

$f'(x) = x'. \ln(x) + x. (\ln(x))' - ( (\sqrt[3]{x} )'. \sec(x) + \sqrt[x]{x} .( \sec(x))' \\ \\ f'(x) = 1. \ln(x) + x. \frac{1}{x} -(( x {}^{ \frac{1}{3} } )'. \sec(x) + \sqrt[3]{x} . \sec(x). \tan(x)) \\ \\ f'(x) = \ln(x) + 1 - \frac{1}{3} x {}^{ \frac{1}{3} - 1 } . \sec(x) - \sqrt[3]{x} . \sec(x). \tan(x) \\ \\ f'(x) = \ln(x) + 1 - \frac{1}{3} .x {}^{ - \frac{2}{3} } . \sec(x) - \sqrt[3]{x} . \sec(x). \tan(x) \\ \\ f'(x) = \ln(x) + 1 - \frac{1}{ \sqrt[3]{x {}^{2} } } . \sec(x) - \sqrt[3]{x} . \sec(x). \tan(x)$

Temos também o item d):

$d) \: f(x) = ( \cos(x) - \sin(x)) {}^{4}$

Derivando através da regra da cadeia:

$f(x) = u {}^{4} \: \: e \: \: u = \cos(x) - \sin(x)$

Substituindo na regra da cadeia:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} u {}^{4} . \frac{d}{dx} ( \cos(x) - \sin(x)) \\ \\ \frac{dy}{dx} = 4u {}^{3} .( - \sin(x) - \cos(x)$

Repondo a função que representa u:

$\boxed{ \frac{dy}{dx} = 4.( \cos(x) - \sin(x)).( - \sin(x) - \cos(x)) }$

Espero ter ajudado