Question

Calcule a derivada de cada função.
passo a passo pf​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a) f(x)= x³+2sen(x)+ln(x)

$\frac{d}{dx} (x^{3} ) + \frac{d}{dx} (2sen(x))+\frac{d}{dx} (ln(x))=$

$\frac{d}{dx} (x^{3} )= 3x^{3-1} = 3x^{2}\\\\\frac{d}{dx} (2sen(x))= 2 \frac{d}{dx} (sen(x))=2 cos(x)\\\\\frac{d}{dx} (ln(x))= \frac{1}{x}$

Logo, f'(x)= 3x²+2cos(x)+$\frac{1}{x}$

b) f(x)= x.cos(x)=

aplicando a regra do produto que diz f(x)= u.v ⇒ f'(x)= u'.v+v'.u, temos:

considere u=x, u'=1 e v= cos(x), v'= - sen(x)

f'(x)= 1.cos(x)+(-sen(x)).x=

f'(x)= cos(x)-x.sen(x)

c) f(x)= $\frac{x^{2}-2 }{1-3x^{2} }$

aplicando a regra do quociente, no qual f(x)= $\frac{u}{v}$  ⇒  f'(x)=  $\frac{u'.v-v'.u}{v^{2} }$:

considere u= x²-2, u'= 2x e v= 1-3x², v'= -6x

f'(x)=

$\frac{2x.(1-3x^{2}) -(-6x.(x^{2} -2))}{(1-3x^{2}) ^{2} }=\\\\\frac{2x-6x^{3}-(-6x^{3} +12x) }{(1-3x^{2} )^{2} } =\\\\\frac{2x-6x^{3} +6x^{3} -12x}{(1-3x^{2} )^{2}} =\\\\-\frac{10x}{(1-3x^{2})^{2} }$

d) f(x)= $x^{4} -\sqrt[5]{x^{2} }$

$\frac{d}{dx} (x^{4} )-\frac{d}{dx} (\sqrt[5]{x^{2} } )=$

$\frac{d}{dx} (x^{4} )= 4x^{4-1} =4x^{3}$

$\frac{d}{dx} (\sqrt[5]{x^{2} } )=$

Aqui, aplicaremos a regra da cadeia. Considere u= x² e v= $\sqrt[5]{u}$

temos que u'= 2x e v'= $u^{\frac{1}{5} }$ ⇒ v'= $\frac{1}{5} .u^{\frac{1}{5} -1} =\frac{1}{5} .u^{-\frac{4}{5}} =\frac{1}{5} .\frac{1}{u^{\frac{4}{5} } } =\frac{1}{5u^{\frac{4}{5} } }$

multiplicando as duas derivadas u'.v'= $2x. \frac{1}{5.(x^{2})^{\frac{4}{5} } } =\frac{2x}{5.x^{\frac{8}{5} } } } =\frac{2x}{5\sqrt[5]{x^{8} }}$

Por fim, temos que $f'(x)= 4x^{3} -\frac{2x}{5\sqrt[5]{x^{8} } }$

Espero que ainda esteja em tempo :D