Question

Calcule a derivada das segintes funções:

(a) f(x) = ln(x^3 + x − 1)

(b) f(x) = (sin x)^x​

Answer 1

⚠️ Aplicando a derivada nas funções, temos:

a) Derivação pelo Princípio das Derivadas

$f'(x) = \frac{d}{dx} ( ln( {x}^{3} + x - 1 ) )$

$f'(x) = \frac{d}{dg} ( ln( g )) \times \frac{d}{dx} ( {x}^{3} + x - 1 )$

$f'(x) = \frac{1}{g} \times ( {3x}^{2} + 1 )$

$f'(x) = \frac{1}{ {x}^{3} \times x - 1 } \times ( {3x}^{2} + 1 )$

$f'(x) = \frac{ {3x}^{2} + 1}{ {x}^{3} \times x - 1 }$

b) Derivação Fundamental

$f'(x) = \sin(x)^{x - 1} \cos(x) \times x + \sin(x)^{x} ln( \sin(x) )$

Bons estudos! ☄️

Answer 2

Item a): Temos a seguinte função:

$\sf \: \: \: \: \: \: \star \: \: \:f(x) = ln(x {}^{3} + x - 1) \: \: \star$

Para derivar esta função, devemos utilizar a regra da cadeia, já que já uma função dentro de outra. Esta regra é dada por $\sf \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}$. Primeiro vamos nomear a função auxiliar "u":

$\: \: \: \sf f(x) = ln(u) \: \: e \: \: u = x {}^{3} + x - 1$

Substituindo na regra, temos:

$\: \: \sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} [ \ln(u)]. \frac{d}{dx} [x {}^{3} + x - 1 ] \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \: . \: (3x {}^{2} + 1) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{3x {}^{2} + 1}{u}$

Realocando a função que representa u:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{3x {}^{2} + 1 }{x {}^{3} + x - 1} }$

Item b): Temos a seguinte expressão:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \star \: \: \sf f(x) = ( sin(x)) {}^{x} \: \: \star$

Primeiro vamos multiplicar a função em ambos os lados pelo logaritmo natural, pois assim conseguiremos fazer com que o x do expoente possa descer como coeficiente:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf ln [f(x)] = ln[(sin(x)) {}^{x} ]$

Utilizando a propriedade de logaritmos, temos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf ln[f(x)] = x. ln[sin(x)]$

Agora podemos derivar ambos os lados:

$\: \: \sf \frac{d}{dx} [ln [f(x)]] = \frac{d}{dx} [x.ln[(sin(x)) ] ] \\ \\ \sf \frac{1}{f(x)} . \frac{ \frac{df(x)}{dx} }{1} = \frac{d}{dx} (x). \ln (sin(x)) + x. \frac{d}{dx}( \ln(sin(x)) \\ \\ \sf \frac{ \frac{df(x)}{dx} }{f(x)} = ln(sin(x)) + x. \frac{ 1}{sin(x)} . \frac{d}{dx} ( \sin(x)) \\ \\ \sf \frac{df(x)}{dx} = f(x). \left[ ln(sin(x)) + \frac{x.cos(x)}{sin(x)} \right]$

Substituindo a expressão de f(x):

$\boxed{ \sf \frac{df(x)}{dx} = (sin(x)) ^{x} . \left[ ln(sin(x)) + \frac{x.cos(x)}{sin(x)} \right]}$