Question

CALCULE a derivada da função zeta, em zero: $\Rightarrow \sf \zeta' (0)$


Gabarito:
$\bf \Large \zeta'(0) =-\dfrac{1}{2}log(2\pi)$

Answer 1

Oi Murilo!

1° Resolução:

Então, eu encontrei dos tipos de soluções, uma delas é essa.

Inicialmente calculei a derivada da função zeta, que deu:

$\Large { \it \cfrac{d}{ds} \left( \zeta (s) \right ) \Rightarrow \cfrac{d}{ds} \displaystyle \left ( \sum_{\it n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^s} \right )\Rightarrow \sum_{\it n=1}^{\infty} \left ( \cfrac{d}{ds} \left ( n^{-s} \right ) \right) }$

Depois, temos que a derivada que inclui uma potência será:

$\Large {\text { \it \boxed {\it \cfrac{d}{dx} \left(b^x \right) = b^x \cdot ln(b) } }}$

Fazemos isso na série:

$\Large { \it \displaystyle \sum_{\it n=1}^{\infty} n^{-s} \cdot ln \left(n \right)\cdot \left (-1 \right) \Rightarrow \sum_{\it n=1}^{\infty} \cfrac{-ln(n)}{n^s} }$

Tendo a derivada da série, iremos substituir:

$\Large { \it \displaystyle - \sum_{\it n=1}^{\infty} ln(n) = -(ln\: 1 + ln \: 2 + ln \: 3+ ...) }$

Que expandindo dará:

$\Large { \bf \zeta ' (0) =- \cfrac{1}{2} log \left( 2\pi \right) }$

2° Resolução:

Usando a fórmula de Euler-Maclaurin, pode se afirmar que:

$\large { \text { \zeta \left(s \right) = \cfrac{1}{s-1} + \cfrac{1}{2}-s \displaystyle \int^\infty_1 {\cfrac{\overline {B_1} \left(x \right) }{x} } }}$  

mantém se válido que a última integral converge. Diferenciando os lados:

$\large {\text { \zeta ' \left(0 \right ) = -1 - \displaystyle \int\limits^\infty_1 \cfrac{\overline {B_1} \left(x \right )}{x} \: dx }}$

Para determinar o valor da última integral teremos de recorrer a fatoriais:

$\large {\text { log \: N! = \left ( N+ \cfrac{1}{2} \right ) log \: N - N +1 + \displaystyle \int\limits ^N_1 \cfrac{ \overline {B_1} \left (x \right ) }{x} \: dx }}$

Usando a aproximação de Stirling:

$\large {\text { 1+ \displaystyle \int\limits^N_1 \cfrac{\overline {B_1} \left( x \right)}{x} \: dx = \cfrac{1}{2} \: log \: 2\pi + \mathcal {O} \left( \cfrac{1}{(N)} \right) }}$

Resultando também em:

$\large {\text { \boxed {\bf \zeta ' \left( 0 \right ) = - \cfrac{1}{2} \: log \: 2\pi } }}$