Question

Calcule a derivada da função N(t) = 2.e-0,10t em t=0.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{N'(0)=-0.20}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a derivada da função $N(t)=2\cdot e^{-0.10t}$ no ponto $t=0$, devemos relembrar algumas técnicas de derivação.

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta, no caso da exponencial, é calculada da seguinte forma pela regra da cadeia: $(e^g(x))'=g'(x)\cdot e^{g(x)}$.
• A derivada do produto de uma constante e uma função é dado pelo produto da constante e a derivada da função, ou seja: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Então, temos a função $N(t)=2\cdot e^{-0.10t}$

Derive ambos os lados em relação a $t$

$N'(t)=(2\cdot e^{-0.10t})'$

Aplique a regra da constante descrita acima

$N'(t)=2\cdot (e^{-0.10t})'$

Aplique a regra da cadeia para funções exponenciais compostas:

$N'(t)=2\cdot (-0.10t)'\cdot e^{-0.10t}$

Aplique novamente a regra da constante

$N'(t)=2\cdot (-0.10)\cdot (t)'\cdot e^{-0.10t}$

Aplique a regra da potência e multiplique os valores

$N'(t)=2\cdot (-0.10)\cdot 1\cdot t^{1-1}\cdot e^{-0.10t}\\\\\\ N'(t)=-0.20\cdot t^{0}\cdot e^{-0.10t}$

Sabemos que a potência de expoente zero é igual a 1, logo

$N'(t)=-0.20\cdot e^{-0.10t}$

Esta é a derivada da função. Para descobrimos seu valor no ponto $t=0$, substitua:

$N'(0)=-0.20\cdot e^{(-0.10)\cdot 0}$

Multiplique os valores

$N'(0)=-0.20\cdot e^{0}$

Aplique a propriedade da potência de expoente zero

$N'(0)=-0.20\cdot 1$

Multiplique os valores

$N'(0)=-0.20$

Este é o valor desta derivada no ponto $t=0$.