Question

Calcule a derivada da função H(x)= Log3 (x²+2x-5) depois imagem do número 3 nesta derivada, ou seja a IMAGEM DE 3 F'(3). MUITO AGRADECIDO, PRECISO MUITO.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\ast \: \: \sf h(x) = log_{3}(x {}^{2} + 2x - 5 ) \: \: \ast$

A questão nos pede para fazermos a derivação dessa função e após isso substituir no local de "x" o número "3", mas antes de tudo vamos lembrar como encontrar a derivada de uma função logarítmica.

$\boxed{ \sf Seja \: \: y = log_{a}(x) , \: \: ent \tilde{a}o : y' = \frac{1}{x} . log_{e}(a) }$

Aplicando:

$\sf h'(x) = \frac{1}{x {}^{2} + 2x - 5} . log_{3}(e) .(2x + 2)$

Essa é a função na sua forma derivada, aquela termo no final (2x + 2), surgiu pelo motivo de que temos uma função composta, portanto temos que multiplicar pela derivada da função dentro do parêntese.

Agora vamos substituir o "x" por "3":

$\sf h'(3) = \frac{1}{3 {}^{2} + 2.3 - 5} . log_{3}(e) .(2.3 + 2) \\ \\ \sf h'(3) = \frac{1}{9 + 6 - 5} . log_{3}(e) .(6 + 2) \\ \\ \sf h'(3) = \frac{1}{15 - 5} . log_{3}(e) .8 \\ \\ \sf h'(3) = \frac{1}{10} . log_{3}(e) .8 \\ \\ \sf h'(3) = \frac{8}{10} . log_{3}(e) \\ \\ \boxed{\sf h'(3) = 0,8. log_{3}(e) \: \: ou \: \: 0,7281}$

Espero que esteja certo