Question

calcule a derivada da função g : R -> R*+, tal que g(x)= 2^x
por favor quero bem explicado

Answer 1

$g(x)=2^x$


Calculando a derivada pela definição:

$g'(x)=\underset{h\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\\\\\\ =\underset{h\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2^{x+h}-2^x}{h}\\\\\\ =\underset{h\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2^x\cdot 2^h-2^x}{h}\\\\\\ =\underset{h\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2^x\cdot (2^h-1)}{h}\\\\\\ =\underset{h\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2^x\cdot (2^h-1)}{h}\\\\\\ =2^x\cdot \underset{h\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2^h-1}{h}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Sabemos que este é um dos limites fundamentais exponenciais:

$\underset{h\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{a^h-1}{h}=\mathrm{\ell n\,}a~~~~~~\text{com }a>0~\text{ e }~a\ne 1.$


E assim, o limite $\mathbf{(i)}$ se reduz a

$=2^x\cdot \mathrm{\ell n\,}2\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}g'(x)=2^x\,\mathrm{\ell n\,}2 \end{array}}$


Bons estudos! :-)