Question

Calcule a derivada da função f(x) = (√x-1)²​

Answer 1

Resposta:

$1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Explicação passo a passo:

Olá! Vamos derivar:

$\frac{d}{dx} (\sqrt{x} -1)^{2}=$

$2 \cdot (\sqrt{x} - 1)^{(2-1)} \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2} } =$

$2(\sqrt{x} - 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} =$

$(\sqrt{x} - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} =$

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} =$

$1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Espero ter lhe ajudado.

Abraços!

Answer 2

Após a realização dos cálculos, podemos concluir que a derivada da função é $\sf f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

Definição de derivada

Derivada é a inclinação da reta tangente ou ainda é o limite de retas secantes traçadas ao longo de uma curva de modo que a distância entre a curva e a reta se aproximem de zero. Observe o anexo  para melhor entender.

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf f'(x)=\lim_{ h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{array}}$

Regras básicas de derivação

• $\sf \dfrac{d}{dx}(f(x)\pm g(x))=\dfrac{d}{dx}f(x)\pm\dfrac{d}{dx}g(x)$
• $\sf\dfrac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)$
• $\sf\dfrac{d}{dx}(u^n)=nu^{n-1}\cdot\dfrac{d}{dx}u$
• $\sf\dfrac{d}{dx}\bigg(\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg)=\dfrac{\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2}$
• $\sf\dfrac{d}{dx}(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Vamos a resolução da questão

Aqui iremos utilizar a regra da cadeia para encontrar a derivada da função dada.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x)=(\sqrt{x}-1)^2\\\sf f'(x)=2(\sqrt{x}-1)^{2-1}\cdot\dfrac{d}{dx}(\sqrt{x}-1)\\\\\sf f'(x)=\backslash\!\!\!\!2(\sqrt{x}-1)\cdot\dfrac{1}{\backslash\!\!\!\!2\sqrt{x}}\\\\\sf f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\end{array}}$

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