Question

Calcule a derivada da função f(x) = sen(2x)cos(2x)

Answer 1

Resposta:

f'(x) 2(cos²(2x) - sen²(2x))

Explicação passo-a-passo:

f(x) = sen(2x)cos(2x)

f'(x) = cos(2x) . 2 . cos(2x) + sen(2x) . (- sen(2x) . 2)

f'(x) = 2cos²(2x) - 2sen²(2x)

f'(x) 2(cos²(2x) - sen²(2x))

Answer 2

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de derivadas.

Devemos calcular a derivada da seguinte função: $f(x)=\sin(2x)\cdot\cos(2x)$.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$(f(x))'=(\sin(2x)\cdot\cos(2x))'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de um produto entre duas ou mais funções é calculada pela regra do produto: $(g(x)\cdot h(x))'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(g(h(x)))'=h'(x)\cdot g'(h(x))$.
• A derivada de uma constante é igual a zero. Com isso, a regra do produto torna válido: $(c\cdot g(x))'=c\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno: $(\sin(x))'=\cos(x)$.
• A derivada da função cosseno é igual ao oposto da função seno: $(\cos(x))'=-\sin(x)$.

Assim, aplique a regra do produto

$f'(x)=(\sin(2x))'\cdot\cos(2x)+\sin(2x)\cdot(\cos(2x))'$

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada das funções seno e cosseno

$f'(x)=(2x)'\cdot \cos(2x)\cdot\cos(2x)+(2x)'\cdot\sin(2x)\cdot(-\sin(2x))$

Aplique a regra da constante e calcule a derivada das potências

$f'(x)=2\cdot 1\cdot x^{1-1}\cdot \cos(2x)\cdot\cos(2x)+2\cdot 1\cdot x^{1-1}\cdot\sin(2x)\cdot(-\sin(2x))\\\\\\ f'(x)=2\cos^2(2x)-2\sin^2(2x)$

Podemos reescrever a expressão utilizando a identidade: $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$

$f'(x)=2\cdot\cos(2\cdot 2x)\\\\\\ f'(x)=2\cos(4x)$

Esta é a derivada desta função.